中小学数学基本思想分析

中小学数学基本思想分析

§0导言数学基本思想的应用数学基本思想的价值数学基本思想的探究数学基本思想的内涵

导言2导言在中小学数学教学内容中有两条线索：

一条是显性的知识线索，如概念、法则、公式、性质等，这是一条有形的线索。

另一条是隐性的数学思想与方法线索，它是蕴涵、渗透在知识体系之中的，是一条无形的线索。

数学思想和数学方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生，发展之中.

3导言

《全日制义务教育数学课程标准》（2001年版）总体目标的第一条提出:“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。

《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）总体目标的第一条修改为，通过义务教育阶段的数学学习，学生能:“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”4导言并把“四基”与数学素养的培养整合为：掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验。这一总体目标不仅贯穿于小学和初中，而且也应贯穿于高中的数学教学，说明数学基本思想的重要性。5导言著名数学教育家波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路。”日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地发生作用，使他们受益终身”。6§1、数学基本思想的内涵数学基本思想的应用数学基本思想的价值数学基本思想的探究数学基本思想的内涵

导言7§1、数学基本思想的内涵数学是什么1数学思想是什么2数学基本思想是什么3数学思想方法是什么48§1、数学基本思想的内涵数学是什么一是从数学所从属的工作领域来看，数学是技术；数学是逻辑；数学是自然科学；数学是科学；数学是艺术；数学是文化；二是从数学研究的对象来看，数学研究数和量；数学研究现实世界的数量关系和空间形式；数学研究计算；数学研究模型；数学研究结构；数学研究演绎系统；数学研究无穷；三是从数学的社会价值来看，数学是语言；数学是工具；数学是框架；数学是符号游戏；

9数学是什么

《全日制义务教育数学课程标准》（2001年版）指出；数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并形成广泛应用的过程；数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值；数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面都有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分

101、数学是什么

《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）指出；数学是研究数量关系和空间形式的科学；数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具；数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。11§1、数学基本思想的内涵数学是什么1数学思想是什么2数学基本思想是什么3数学思想方法是什么4122、数学思想是什么

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果；数学思想，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；数学思想，是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，就是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它在后继认识运动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。数学思想，是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。13§1、数学基本思想的内涵数学是什么1数学思想是什么2数学基本思想是什么3数学思想方法是什么4143、数学基本思想是什么

数学基本思想，是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛性的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。15§1、数学基本思想的内涵数学是什么1数学思想是什么2数学基本思想是什么3数学思想方法是什么4164、数学思想方法是什么

数学思想是人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式；数学思想往往是观念的、普遍的、深刻的、一般的、内在的；而数学方法是在应用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，逐渐形成某一类程序化的操作。数学方法往往是操作的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。如等量代换法、数学归纳法、换元法、配方法、列表法等等。因此，数学思想不同于数学方法。然而，数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想。因此，我们往往把二者结合起來应用于问题解决中，统称为“数学思想方法”。17§3、数学基本思想的探究数学基本思想的应用数学基本思想的价值数学基本思想的探究数学基本思想的内涵

导言18§3、数学基本思想的探究史宁中、刘晓玫两位教授在“对数学教育中几个基本问题的认识”一文中说：数学的基本思想有两条,

一是演绎的思想;

二是归纳的思想。

在中国传统的意义上,只有归纳的方法,

没有演绎的方法.

如秦九韶的高次方程求解、同余法等世界领先水平,

依赖的就是归纳推理。但是,

自从欧几里德几何传入中国之后,

中国又只重视演绎的思想,

而忽视了归纳的思想。19§3、数学基本思想的探究

归纳在数学教育教学中的渗透,一方面是要教会学生从一些个别现象出发,从一些个性出发,來推究一般的事物有没有相同的结论；或者是根据一种现象,來推究产生这种现象的原因,即考虑因果关系。

另一方面,归纳的思想与分类有关。分类是把一大类细分为若干个不同的小类。分类是有标准的,有了标准才能在标准下分类,分类需要符合这类和那类之间不相交的基本思想。如果每一小类中都有这样的性质,是不是这一大类东西就都有这个性质,也就是从一个个小的类出发,进而推测到更大的一类是不是具有相同的结论,这种思想就是归纳。实际上,

从小学一年级开始就教分类,也就渗透了归纳这种思想20§3、数学基本思想的探究

黄翔教授在“关于数学课标修订变化情况解读”中说：《国家数学课程标准》制定组组长、东北师范大学校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”,引起了数学教育界的广泛关注。以前强调的双基是指基础知识、基本技能,

双基教学重视的传授,讲究精讲多练，主张“练中学”，相信“熟能生巧”，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演与熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能,

还增加了基本思想和基本活动经验。“基本思想主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想”。这里所说的思想，是大的思想，不仅仅是在数学学科中，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想21§3、数学基本思想的探究

有的学者强调，如果站在数学学科的角度来看，数学的基本思想有三个：抽象、推理、模型。

人们通过抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过推理，进一步得到更多的结论，促进数学内部的发展；通过建模，把数学应用到客观世界中，沟通了数学与外部世界的桥梁。比如，由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函数（如正反比例）等；通过推理计算可以求解方程；有了方程等模型，就可以把数学应用到客观世界中。22§3、数学基本思想的探究

有的学者则认为，“数学的基本思想，主要有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想和数学审美的思想。”认为“通过数学审美，看到数学‘透过现象看本质’、‘和谐统一众多事物’中美的成份，感受到数学‘以简驭繁’、‘天衣无缝’给我们带来的愉悦，并且从‘美’的角度发现和创造新的数学。”

上述这些基本思想应该属于数学思想的最高层面，由其演变、派生、发展出来的数学思想还有很多，比如：归纳思想、演绎思想、转化思想、分类思想、对应思想、数形结合思想、集合思想、方程思想、函数思想、符号化思想、等等。下面仅就归纳思想、演绎思想和转化思想作较为详细的探讨23§3、数学基本思想演绎思想2转换思想324§3.1、归纳思想

归纳思想是由个别、特殊到一般的认识过程；是通过对特例或事物的一部分进行观察与综合，进而发现和提出关于一般性结论或规律的过程；是通过揭露对象的部分属性过渡到对象整体属性的过程

归纳思想虽然考察的只是若干个别现象，但是所得结论却能超出考察的范围，具有一般性。

归纳思想的认识依据在于同类事物的各种特殊情形中蕰含的同一性和相似性25§3.1、归纳思想归纳思想的逻辑结构

设Mi(i=1,2,3,…,n)

是要研究讨论对象M的特例或子集.

若Mi(i=1,2,3,…,n)

具有性质p,

则由此猜想M也可能具有性质p.这里,也可简单表示为:M蕰含M1,M2,…,Mn,M1,M2,…,Mn为真

M也可能为真.26§3.1、归纳法所谓归纳法,

就是应用归纳思想认识、分析、研究事物的方法.

其主要步骤是:收集素材(观察、试验研宄对象)----归纳整理---分析概括---形成猜想.27§3.2、归纳法的作用培养学生独立思考能力应用归纳法的第二步是“归纳整理”，第三步是“分析概括”，都是让学生独立思考，独立分析探究，独立解决问题，这正是新课改倡导的自主性、探究性学习培养学生观察能力现代心理科学的研究表明，在人脑所获得的信息中，有90%是通过视觉获取的.达尔文说：“我没有突出的理解力，也没有过人的机智，只是在觉察那些稍纵即逝的事物并对其进行精细观察的能力上，我可能在众人之上.”巴甫洛夫教育年轻人要“观察、观察、再观察”.可见观察在人类实践活动中具有极其重要的意义.归纳法的第一步就是“收集素材”，让学生观察研究对象的一些零散的、片言只语的、特殊的性质；第二步“归纳整理”，再让学生有目的、有步骤地进行细致的观察、分析和概括，获得完整、准确的数学认识，使其思维上升到理性.所以，数学课堂上的归纳法有力地培养了学生的观察能力28§3.2、归纳法的作用培养学生比较能力著名教育家乌申斯基认为“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的”.比较法是把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比或类比.通过比较，归纳总结其异同，才能突出其本质特征.归纳法的第三步就是“分析概括”，在比较中舍弃不同的、抽取共同的数学的东西而“形成猜想”.有比较才能有鉴别，数学的特性正是从比较中抽象出来的，没有比较就没有抽象.所以，运用归纳法可以培养学生的数学比较能力、辨别能力.培养学生抽象能力抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质的特征，而舍弃其非本质的特征.它是数学中常用的、必不可少的思维方法，与概括相互联系、密不可分.抽象思维（abstractthinking）属于理性认识阶段，在对事物的本质属性进行分析、综合、比较的基础上形成概念.归纳法的第三步就是“分析概括”，

再经过抽象思维而“形成猜想”29§3.2、归纳法的作用培养学生概括能力鲁宾斯坦说“思维是在概括中完成的”.思维的最显著特征是概括性.从心理学角度讲，概括就是把不同事物的共同属性（本质的、非本质的）抽象出来后加以综合，从而形成一个日常概念或者科学概念.归纳法的第三步就是“分析概括”。概括能力在智力活动中非常重要，没有概括就没有概念，没有概念就无法进行逻辑思维.所以，运用归纳法培养学生的概括能力显得非常重要.30§3.3.1、完全归纳法一般说來,

归纳法分为两种,

一是完全归纳法,

二是不完全归纳法.完全归纳法是在研究事物的一切特殊情况所得结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的方法。即是根据某类事物的全体对象具有某种属性进行慨括的一种思维方法。完全归纳法的推理模式是：设A={a1,a2,a3…an,}是研究对象的n种情况的集合.若a1具有性质c;若a2具有性质c;若a3具有性质c;……;若an

具有性质c;则集合A={a1,a2,a3…an,}中的任一元素ai

(i=1,2,…,n)

都具有性质c.31§3.3.1、完全归纳法例1证明:1+2+3+

…+n的末位数字不可能是2,4,7,9.按顺序取n=1,2,3,…,

逐一求和,

其末位数字分别是1,3,6,0,5,1,8,…,

可以说明对n的前面一些值,

结论成立,

但顺着这条思路,

证明对一切自然数n结论成立时难以奏效.

不妨换一种思考方式,

因为

1+2+3++n=于是可先研究n(n+1)

的末位数的所有可能情况,

得到如下证法.

32§3.3.1、完全归纳法证明:因为

1+2+3++n=可先研究n(n+1)

的末位数字.

为了清楚,

列表如下:n的末位数字.1234567890n(n+1)

的末位数字2620026200由此可见n(n+1)

的末位数字只能是0,2,6三个数字,

所以

的末位数字只可能是0,5,1,6,3,8.

故1+2+3+…+n的末位数字不能是2,4,7,9.33§3.3.1、完全归纳法例2若a,b,c是奇数,

求证方程ax2+bx+c=0无整数根.分析:

此题若用求根公式分析解答将比较困难,

考虑到方程的系数都是奇数的特点,

不妨以奇偶性分类,

进而说明此方程既无奇数根又无偶数根,

也就完成了证明.34§3.3.2、不完全归纳法不完全归纳法在研究事物的某些特殊情况所得到的结论的基础上,

得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做不完全归纳法.不完全归纳法的推理模式是：S1具有(或不具有)p,S2具有(或不具有)p,………Sn具有(或不具有)p,(S1,S2,…Sn,是A类事物的部分对象)结论:A类事物具有(或不具有)p.35§3.3.2、不完全归纳法例3：化简分析:

由于n是自然数,

我们不妨从n的特殊值开始探索.设f(n)=则当n=1时,f(1)=2;n=2时,f(2)=4;n=3时,f(3)=8;n=4时,f(4)=16;……由此猜想:f(n)=2n.(用数学归纳法可证结论)36§3.2、不完全归纳法例4：平面内n条直线(无平行且无三线共点者)

将平面分成多少部分?分析:

直接回答结果不容易,

我们仍从特殊的n值出发进行探究与归纳,

进而总结规律.设n条直线将平面分成f(n)部分.n=1时,f(1)=2;n=2时,f(2)=4;n=3时,f(3)=7;n=4时,f(4)=11;n=5时,f(5)=16;……通过观察分析这些数据,

不难发现:f(2)=f(1)+2=2+2;f(3)=f(2)+3=2+2+3f(4)=f(3)+4=2+2+3+4;f(5)=f(4)+5=2+2+3+4+5猜想:f(n)=2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n

(用数学归纳法可证结论)37§3.3.2、不完全归纳法例5:

质数分布定理的发现.研究自然数1到N内质数的个数P:(1)N=10,

在1---10内质数个数P=4;(2)N=100,

在1---100内质数个数P=25;(3)N=1000,

在1---1000内质数个数P=168;(4)N=106,

在1---106内质数个数P=78498;(5)N=109,

在1---109

内质数个数P=50847478.38§3.3.2、不完全归纳法观察(1)(2)(3),N成10倍地扩大,

而P扩大倍数约为6倍;观察(3)(4)(5),N成103

倍地扩大,P扩大倍数是否约为63倍呢?

显然不是这样,

而是要比63倍增长得快,

甚至超过83

倍.因此,

设想把N与质数个数P比一比,

观察一下

比值.

可见比值随着N的增大而增大,

但增大的速度显然是慢下來了.

通过比较

与lnN的值,

易知

由此猜想：即从1到任何自然数N之间所含质数的个数

当N越大时,

近似程度越高.注:

这一猜想经过80多年的研究,

终于在1896年由法国数学家阿达玛(Hadamard,J.)

和比利时数学家德拉瓦莱-普森（DelaVallee-Poussin.Ch.J）作出了完整的证明,

成为著名的质数定理39§3.3.2、不完全归纳法例6:

“欧拉公式”的发现.欧拉曾观察一些特殊的多面体,

并将每个多面体的面数F、顶点数V、棱数E数出来,

并列成下表:仔细观察上表,

有F+V—E=2猜想：任意多面体的面数F、顶点数V、棱数E都有关系F+V—E=2欧拉证明了该猜想的正确性，成为了著名的“欧拉公式”多面体面数F顶点数V棱数E三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812八面体8612五棱柱71015二十面体201230十二面体122030有n个侧面的棱柱n+22n3n有n个侧面的棱锥n+1n+12n40§3.2、不完全归纳法例7.哥德巴赫猜想

1742年德国数学家哥德巴赫（Goldbach）在研究中发现：大于4的偶数总能写成两个奇素数之和。例如：6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3=7+7.16=13+3=11+5,18=11+7=13+5,20=13+7=17+3

哥德巴赫把这个猜想写信告诉了欧拉.

欧拉在回信中肯定了这个猜想,

但他不能证明.

两百多年来,

为了证明这个猜想,

数学家们做了无数次的努力,

仍没有证明.

最好的结果是我国数学家陈景润在1966年证明了“每一个充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”.这个定理记为(1+2),

国外誉为“陈氏定理”41§3.3.2、不完全归纳法例8.费马数法国数学家费马（Fermat）曾考察过形如的数(称为费马数).

他发现,

当n=0,1,2,3,4时,F(n)

的值分别为3,5,17,257,65537都是质数,

于是进行了归纳,

提出了猜想:所有形如的数均为素数.42§3.3.2、不完全归纳法他没有证明这个猜想,

并向英国数学家沃里斯要求证明.

然而欧拉却发现,

当n=5时,F(5)=4294967297=641*6700417是个合数,

这说明费马的猜想是错误的.事实上,F(6),F(7),F(8)

等也不是素数.费马数引起了人们广泛兴趣,

迄今为止,

人们只知道前5个费马数是素数,

其余近50个已经研究过的费马数都是合数.

究竟费马数中是否有无穷多个素数、是否有无穷多个合数,

至今仍未解决.

有人根据目前研究过的费马数的情况,

提出了反费马猜想:“费马数中只有有限个素数,

其余的都是合数”.当然,

这个猜想是否正确,

还有待进一步证实.43§3.3.2、不完全归纳法例9.考察f(n)=n2-n+41f(1)=41,f(2)=43,f(3)=47,f(4)=53,f(5)=61,f(6),f(7),f(8),…,f(40)均是质数,由此归纳出:对任意非零自然数n,f(n)都是质数的结论

错了.因为当n=41时,f(41)已不是质数了.44§4、数学基本思想演绎思想2转换思想345§3.4、演绎思想什么是演绎思想当人们获得一般原理之后，就以这种原理为指导，对尚未研究或尚未深入研究过的各种个别的、具体的事物进行研究，找出其特殊的本质。这种由一般原理推出特殊场合的知识的思维形式称为演绎思想。运用演绎思想的解题方法称为演绎法。演绎推理的基本形式——三段论式一个三段论式由大前提、小前提和结论三个简单的判断组成。大前提是一个一般性原理，小前提给出了一个适合一般性原理的特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果。46§3.4、演绎思想三段论推理的基本模式为：大前提：一切M都是P（或M具有性质P）

小前提：S是M（或S在M内）结论:S是P（或S具有性质P）其中P称为大项、M称为中项、S称为小项.

在这里,大项包含中项,中项包含小项,中项是个媒介,

在结论中媒介就消失了。47§3.4、演绎思想例10.

无限不循环小数是无理数，（大前题）丌是无限不循环小数，（小前题）

丌是无理数。（结论）例11.平行四边形的对角线互相平分，（大前题）菱形是平行四边形，（小前题）菱形的对角线互相平分。（结论）48§3.4、演绎思想大、小前提反映的是客观事物一般性和特殊性之间的关系。因此，只要大前提是真实的，并且小前提中的事物又没有超过大前提所指出的范围，那么按上面模式所推出的结论就一定是正确的。否则，将会得出错误结果。49§3.4、演绎思想例12.已知方程

x2-3x+m=0有一个根为求另一个根及m的值.解:

由于一元二次方程无理根成对,

故由已知

是方程的一个根,

可知

是方程的另一个根.又由韦达定理有错误50§3.4、演绎思想上述推理中使用了这样的三段论式:一元二次方程无理根成对,（大前题）有一个根为

，（小前题）是该方程的另一个根.（结论）错误就出在大前提“一元二次方程无理根成对”.

因为“一元二次方程无理根成对”

的结论是在“有理数系数”

的前提下成立的.

而本例中并没有指出系数m是有理数.

前提发生错误,

必然导致结论的错误.正确解法是:设方程的另一根为a,由韦达定理有解得51§3.4、演绎思想例13.下面的推理错在哪里?因为4大于0,2大于0,所以4=2.解:在这个推理中,

前提的两个判断显然是真实的,

但结论不正确,

其原因在于推理的根据不充分.52§3.4、演绎思想例14.若一个凸多面体的每一个面都是n边形,

而且每一个顶点都是m条棱的公共端点(这里),试证这类凸多面体至多只有5种正多面体.运用演绎法,

由欧拉公式（例6）可推出：这类多面体的面数只可能是4、6、8、12、20.

进而推出新结果：这类凸多面体面体至多只有5种正多面体.

即每面都是正三角形的正四面体、正八面体、正二十面体，每面都是正方形的正六面体，每面都是正五边形的正十二面体。53§3.4、演绎思想例15.

有5对青年人举行集体婚礼，当新人们一对对进入礼堂时，相互认识的就握一下手。当然，没有一个人和自已的对象握手，也没有人和同一个人握两次手。

婚礼结束后，新婚夫妇中的小张分别问其他九位（包括小张的妻子），“您今天与新婚者握了几次手？”使他惊奇的是，九个人握手的次数各不相同

试问：小张的妻子握了几次手？小张自已又握了几次手？54§3.4、演绎思想由于规定不和自己的对象握手，因此握手次数最多者握了8次，而除小张外九个人握手的次数又是各不相同的，因此九个人握手的次数分别是0,1,2,3,4,5,6,7,8次。显然，握了8次手的那个人除自己的对象外与其余8个人都握过手，因此所有不是他对象的人都与他握过手，也就是所有不是他对象的人都是至少握过1次手的人，所以他的对象是握0次手的人，设这一对新人为A8，A0.55§3.4、演绎思想

同样，握7次手的人除与自己的对象和A0未握手,

与A8握过1次手外,

剩下6次是与剩下的6个人握的.

因此,剩下的不是他对象的人都与他和A8

握过手,也就是所有剩下的不是他对象的人都是至少握过2次手的人，所以他的对象是握过1次手的人，设这一对新人为A7,A1;同理可以推出握6次手的人的对象是握2次手的人,设为A6,A2;握5次手的人的对象是握3次手的人，设为A5,A3;剩下一个握4次手的人只能是小张的对象.

又握4次手的人与自已的对象和A0,A1,A2,A3

未握过手外与A8,A7,A6,A5

各握过1次手.

从上面的推理可知,A0,A1,A2,A3,A4

都不可能与小张握手,

而A8,A7,A6,A5

都与小张各握过1次手,

因此小张总共握过4次手.56§4、数学基本思想演绎思想2转换思想357§3.5、转化思想什么是转化思想?转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。58§3.5、转化思想从“数学认知发展”的角度将其归纳为：（1）未知与已知间的转化；（2）复杂与简单间的转化；（3）常量与变量间的转化；（4）无限与有限间的转化；（5）连续与离散间的转化；59§3.5、转化思想（6）模糊与精确间的转化；（7）抽象与具体间的转化；（8）特殊与一般间的转化；（9）现实问题与数学模型间的转化；（10）不同数学模型间的转化；（11）认知过程和思维形式的转化。60§3.5、转化思想从“数学教学”的不同角度将其归纳为：（12）就处理数学问题的实质而言，是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化；（13）就具体思考过程而言，往往是将难以解决的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题；（14）在实际的数学教学中，转化思想渗透在各个教学环节和知识点中，其形式也是多种多样的。诸如题型上的转化、解题方法的转化，代数、几何等知识版块间的相互转化，实际的具体问题与数学问题的相互转化等等。61§3.5、转化思想从“宏观”和“微观”两个角度归类为：（15）变形法。包括恒等变形和放缩变形；（16）分割法。包括整体分割法、条件分割法、外延分割法、过程分割法和局部变动法；（17）映射法。包括坐标法、复数法、函数法、换元法、待定系数法和构造法62§3.5、转化思想从“不同题型”的角度归纳为：（18）化“一般”为“特殊”，是对一些“总成立”的问题用几个特殊值代入而分析解决；（19）化“非典型”为“典型”，是把题目中不常见的概念、公式等转化为常见的概念、公式来进一步解决问题；（20）化“不熟悉”为“熟悉”，是把题目中复数、几何等不熟悉的问题转化为熟悉的方程来解决；（21）化“复杂”为“简单”，是把问题中的复杂繁琐的式子转化成简单的式子来考虑；（22）化“未知”为“已知”，是把问题中的待定部分通过题意转化到已知的条件上去进行解决；63§3.5、转化思想（23）化“立体”为“平面”，是把立体几何中的问题转化成平面几何来解决；（24）化“形”为“数”，是在解析几何中常把一些线段长度、线段的中点、直线的垂线等转化为数学式子或方程来解决；（25）化“数”为“形”，是把一些代数问题转化成几何图形来解决；（26）“多”化“少”，是把一个式子中的多个变化成分利用已知条件或适当的方法减少变化成分的个数，从而使问题易于判断和解决；（27）化“应用型的实际问题”为“与函数、方程有关的数学问题”来解决。64§3.5、转化思想从“解题过程”这个角度进行分类：（28）正面与反面的转化；（29）特殊与一般的转化；（30）相等与不相等的转化；（31）隐与显的转化；（32）数与形的转化；（33）繁难与简单的转化。65§3.5、转化思想从“转化的方向”进行分类：（34）初等化转化即超越化代数、无理化有理、高次化为低次；（35）高维向低维转化空间图形与平面图形的转化、多元向一元的转化、复数与实数相互转化；（36）文字语言、数学语言、图形语言的转化如：数形结合思想、数学建模等；66§3.5、转化思想（37）命题转化即把一个命题转化成另一个等价命题，如正与反的转化；（38）无限与有限的转化解“有限”问题很困难．可考虑转化为“无限”问题，而解“无限”问题很困难，可考虑转化为“有限”问题。（39）函数、方程、不等式之间进行转化；67（40）相等与不等的转化；（41）等积转化即利用面积相等或体积相等解决有关问题；（42）同解转化即把方程或不等式转化为同解方程或同解不等式68§3.5、转化思想（43）量与量之间的转化如常量与变量的转化、换元转化、整体代换、消元法等；

(44）公式变形转化；（45）位置关系间的转化如垂直和平行证明间的转化、空间角、空间距离间的转化69§3.5、转化思想2.3.3转化的原则

(1)熟悉化原则。将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；(2)简单化原则。将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；70§3.5、转化思想(3)和谐化原则。转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律；(4)直观化原则。将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决(5)正难则反原则。当问题正面讨论遇到问题时应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决,或证明问题的可能性。71§3.5、转化思想常见的转化方式:一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化。72§3.5、转化思想转化的作用

转化思想是由一种形式变换成另一种形式，是解决数学问题的重要策略。在解答数学问题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。73§3.5、转化思想转化思想的教学（1）以旧引新。即根据学生已有的新旧知识的联系，将新知识转化为已有的知识来解决。例如，学习平行四边形的面积计算，学生通过自己操作，剪一剪，拼一拼，接一接，转化为一个长方形，这样，使旧知识、旧技能、旧的思考方法，逐步过渡到新知识、新技能、新的思考方法，从而扩展原有的认知结构。（2）由繁化简。即指导学生尽可能想办法，使其要解决的具体问题变得简单一些。74§3.5、转化思想（3）以生引熟。即学生碰到较难的题目时，要另外择路，化陌生为熟悉。（4）由曲找直。圆的面积公式的推导，就要用到化曲为直的思考方法，通过将圆分割成若干等份，拼成近似的长方形，由圆的半径与面积的关系转化为长方形的长宽与面积的关系，由长方形的面积公式，推导出圆的面积的公式。这里，就是将长方形的面积公式转化为圆的面积公式。在学习圆柱的体积计算时，学生也能很快悟到立体图形之间的联系，感悟到圆柱体积的计算公式。75§4、数学基本思想的价值数学基本思想的应用数学基本思想的价值数学基本思想的探究数学基本思想的内涵

导言76§4、数学基本思想的价值数学基本思想有四大育人价值：一是有利于完善学生的数学认知结构；二是可以提升学生的原认知水平；三是可以发展学生的思维能力；四是有利于培养学生解决问题的能力。77§4、数学基本思想的价值“双基”变“四基”，

给数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为学生的学习和个人发展提供最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进学生的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学学习中得到不同的发展。“双基”变“四基”，

任重而道远。78§4、数学基本思想的价值美国教育心理学家布鲁纳指出:掌握数学的基本思想方法,能使数学更易于理解、更利于记忆,领会数学基本思想和方法是通向迁移大道的"光明之路"。因此,数学基本思想方法是数学的灵魂和基础。通过数学基本思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学基本思想，就是掌握数学的精髓。79§4、数学基本思想的价值在教学中有意识地向学生渗透一些数学的基本思想，可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。同时，也能为进一步学习数学的基本思想打下较好的基础。数学思想方法教育决不是单纯传授和训练解题术、也不仅是一系列解题策略的教学，其宗旨是让学生了解、喜爱数学的各个基本思想方法，并发展应用它们解决常规与非常规问题的数学态度与数学能力。80§5、数学基本思想的应用数学基本思想的应用数学基本思想的价值数学基本思想的探究数学基本思想的内涵

导言81美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治.波利亚(Georgepolya,1887-1985)说:“学习数学的主要目的是解题。”“什么是数学技能？数学技能就是解题能力一一不仅解一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独立性和想象力的问题。所以，中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练”。“解题的价值不是答案本身，而是在于弄清是怎样想到这个解法的”、“是什么促使你这样做，这样想？”这就是说解题过程是一个思维过程，是把知识与一个问题联系起来思考、分析和探索的过程。82波利亚对数学解题理论的建树主要体现在《怎样解题》中.这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张

“怎样解题表”,并通过这张表來实现.“怎样解题表”的精髓是启发我们去联想.联想什么?怎样联想?他在表中提出了启发性问题:你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?......这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题,你能不能利用它?......83什么叫解题解题一一这就是意味着求出它的答案.在数学中,解数学题的实质,就是意味着找出这样一个数学的一般原理(定义、公理、定理、法则、定律、公式)的序列,当应用它们到问题的条件或者条件的推论(解法的中间结果)时,我们就得到问题所要求的答案.数学问题一般分为常规问题和非常规问题.对于非常规问题,正如莫斯科大学教授娅诺夫斯卡娅所讲:“就是把所要解的问题转化为已经解过的问题”.84德国哲学家、天文学家、星云说的创立者之一、德国古典唯心主义创始人康德(ImmanuelKant，1724-1804

)在他的《纯粹理性批判》中写道: