工程力学M-第7章课件

工程力学第二篇材料力学第7章轴向拉伸和压缩

轴力与轴力图

拉压杆件横截面上的正应力

拉压杆件的变形拉伸与压缩时材料的力学性能

拉压杆件的强度计算工程力学§7.1拉伸与压缩的特征

外力特点：外力的合力作用线与杆件的轴线重合。变形特点：杆件主要在轴线方向产生伸长和缩短变形，同时在横向产生缩小或增大。工程力学§7.2轴力与轴力图

轴力的计算

轴力图

假想的m－m面将杆切开，留取其中任意一段，列平衡方程，计算出轴力FN

。对轴力正负号规定：拉为正“+”压为负“–”为了直观地反映出杆各截面上轴力沿轴线的变化规律，并能找出最大轴力及其所在的截面，需要画出杆的轴力图。

轴力与轴力图

轴力图绘制步骤：1．逐段计算杆的轴力；2．在受力图下方以平行于杆轴线为横坐标

x

，其上的各点表示杆各横截面的位置；取垂直于x为纵坐标，表示杆对应截面上的轴力FN；3．按选定的比例，将杆各段的轴力绘在上述的坐标系中；4.在轴力突变处标出轴力大小和单位，并将轴力的正负号标出。重要，熟练掌握工程力学§7.3拉压杆件横截面上的正应力

横截面上的正应力公式

研究方法与思路：实验——分析（理论推导）——实验具体的做法（采用的手段）：几何（相容律）物理（本构律）静力学（平衡律）拉压杆的正应力平面假设：实验并观察横截面：变形前为平面；变形后仍保持为平面，并且仍垂直于杆轴线，各相邻横截面间只产生相对的平移。称为“平面假设”启发式例7-2

图示为一小吊车架。设拉杆AB的截面为圆形，直径为15mm，求其横截面上的应力。

解：求拉杆AB的轴力，由得到其轴力为求AB杆的应力，可得

=104.18MPa问题：当吊在BC杆上行驶到其它位置上时，AB杆的应力是否有变化？当吊车行驶在什么位置时，AB杆的应力最大？

拉压杆的正应力例7-3图示为一矩形截面杆，b=20mm，h=40mm，杆中有一直径为10mm的圆孔。当杆受到F=30kN的拉力作用时，杆的哪个横截面上的正应力最大？数值等于多少？

解：由题意，各横截面上的轴力相同，但在圆孔的直径平面m－m上，杆的净截面最小，该截面所产生的应力比其它截面大，杆的最大正应力为

关于应力集中的概念应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数，用K表示：

（7-2）

圣维南原理关于加力点附近区域的应力分布

前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，只有在杆件沿轴线方向的变形均匀时，横截面上正应力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载方式有一定的要求。

当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，并非都是产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。圣维南原理关于加力点附近区域的应力分布工程力学§7.5拉压杆件的变形

轴向变形和虎克定律

研究思路：实验——分析——实验轴向伸长

英国科学家虎克发现：

拉压杆的变形称为虎克定律式中E为比例常数，称为材料拉伸（或压缩）弹性模量，其数值大小随材料而异，由试验确定。

E的常用单位是MPa或GPa。例如钢材，E=(2.0～2.2)×105MPa或（200～220）GPa。

EA称为杆的抗拉或抗压刚度，当FN或l不变时，EA越大，则杆的轴向变形越小，表示了杆件抵抗轴向变形的能力。

（7-3）（7-4）

拉压杆的变形横向应变、泊松比

当杆拉伸时，横向尺寸缩短，其横向应变为：

法国科学家泊松提出。单位无量纲，通常为0<

ν

<0.5之间。表7-1给出了常用材料的E和ν的值。泊松比和（7-5）拉压杆的变形例7-5

试求图所示等截面直杆由自重引起的杆内最大正应力和轴向总变形。该杆横截面积A、材料密度、材料的弹性模量E均为已知。

解：自重为一体积力，对于均质材料，可将杆的自重简化为沿杆轴线作用的均匀分布线荷线，其集度为q。

（1）杆内的最大正应力

x截面上的轴力最大轴力在举例拉压杆的变形x截面上的应力最大应力在举例拉压杆的变形（2）杆的轴向变形

见黑板具体推导举例

讨论应力和变形公式的应用条件承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式与变形公式

其中，正应力公式只有杆件沿轴向方向均匀变形时，才是适用的。怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向均匀变形是均匀的呢？

讨论应力和变形公式的应用条件哪些横截面上的正应力可以应用拉伸应力公式计算？哪些横截面则不能应用。

强度设计准则中的许用应力

其中σ0为材料的极限应力或危险应力。所谓危险应力就是材料发生强度失效时的应力。这种应力不是通过计算，而是通过材料的拉伸实验得到的。通过拉伸实验一方面可以观察到材料发生强度失效的现象，另一方面可以得到材料失效时的应力值。

工程力学7.6拉伸与压缩时材料的力学性能

材料拉伸时的应力一应变曲线韧性材料拉伸时的力学性能脆性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

强度失效概念与失效应力压缩时材料的力学性能材料拉伸时的应力一应变曲线

拉伸与压缩时材料的力学性能

进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样;然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力一应变曲线。

不同的材料，其应力一应变曲线有很大的差异。

材料拉伸时的应力一应变曲线拉伸与压缩时材料的力学性能

为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验。试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。

材料拉伸时的应力一应变曲线

拉伸与压缩时材料的力学性能

脆性材料拉伸时的应力－应变曲线材料拉伸时的应力一应变曲线

拉伸与压缩时材料的力学性能

材料拉伸时的应力一应变曲线

拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性金属材料材料拉伸时的应力－应变曲线工程塑料拉伸时的应力－应变曲线材料拉伸时的应力一应变曲线

拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

2134韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

1弹性阶段

弹性模量应力一应变曲线中的直线段称为线弹性阶段。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。对于大多数脆性材料，其应力－应变曲线上没有明显的直线段，铸铁的应力－应变曲线即属此例。因为没有明显的直线部分，常用割线的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。p

比例极限e

弹性极限韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

比例极限与弹性极限

应力一应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限，用表示。线弹性阶段之后，应力－应变曲线上有一小段微弯的曲线，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系，但是，如果在这一阶段，卸去试样上的载荷，试样的变形将随之消失。这表明这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限，用表示。大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。

s

屈服强度韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

2屈服阶段

屈服应力

许多韧性材料的应力一应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服，例如图7-15中所示曲线的BC段。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服应力或屈服强度，用表示。

对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2％塑性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力，用表示。0.2条件屈服应力—塑性应变等于0.2％时的应力值韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

3强化阶段

强度极限

应力超过屈服应力或条件屈服应力后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化阶段。这一阶段应力的最高限称为强度极限，用表示。

应变硬化韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

4破坏阶段

颈缩与断裂

某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

韧性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标一延伸率和截面收缩率

其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横截面面积；l1和A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距长度)和断口处最小的横截面面积。延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越好。工程中一般认为δ>5％者为韧性材料；δ＜5％者为脆性材料。脆性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力－应变曲线上，都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断裂时的应力值－强度极限。

脆性材料拉伸时的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

拉伸与压缩时材料的力学性能

压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

压缩时材料的力学性能材料压缩实验，通常采用短试样。低碳钢压缩时的应力一应变曲线。与拉伸时的应力一应变曲线相比较，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同，但屈服后，由于试样愈压愈扁，应力一应变曲线不断上升，试样不会发生破坏。

拉伸与压缩时材料的力学性能

压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

压缩时材料的力学性能铸铁压缩时的应力一应变曲线，与拉伸时的应力一应变曲线不同的是，压缩时的强度极限氏却远远大于拉伸时的数值，通常是拉伸强度极限的4－5倍。对于拉伸和压缩强度极限不等的材料，拉伸强度极限和压缩强度极限分别用和表示。这种压缩强度极限明显高于拉伸强度极限的脆性材料，通常用于制作受压构件。

拉伸与压缩时材料的力学性能

压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能

强度失效概念与失效应力强度指标(失效应力)韧性材料σ0＝σS

脆性材料σ0＝σb脆性材料韧性金属材料拉伸与压缩时材料的力学性能

强度失效概念与失效应力拉伸与压缩时材料的力学性能

强度失效概念与失效应力如果构件发生断裂，将完全丧失正常功能，这是强度失效的一种最明显的形式。如果构件没有发生断裂而是产生明显的塑性变形，这在很多工程中都是不允许的，因此，当发生屈服，产生明显塑性变形时，也是失效。根据拉伸实验过程中观察的现象，强度失效的形式可以归纳为

韧性材料的强度失效－屈服与断裂；

脆性材料的强度失效－断裂。

拉伸与压缩时材料的力学性能

强度失效概念与失效应力因此，发生屈服和断裂时的应力，就是失效应力，也就是强度设计中的危险应力。韧性材料与脆性材料的强度失效应力分别为：

韧性材料的强度失效应力－屈服强度(或条件屈服强度)、强度极限;脆性材料的强度失效应力－强度极限。作业习题7-1，7-2,7-4，7-6，7-77-8,7-10,7-147-12§7.7拉压杆件的强度计算工作应力容许应力和安全系数材料的极限应力韧性材料脆性材料σ0＝σSσ0＝σb安全因数n材料试验差异计算荷载的准确性组装的偏差σu拉压杆的强度计算材料的容许应力[σ]＝安全因数n选取工程及构件的重要性经济性材料的变异性通常，对于静荷载韧性材料n=1.2~2.0脆性材料n=2.0~5.0（7-6）拉压杆的强度计算强度条件和强度计算对于等截面直杆，轴力最大的截面——危险截面危险截面上应力最大点——危险点等截面直杆的强度条件为（7-7）由此，三大任务：强度校核设计面积容许荷载拉压杆的强度计算强度校核设计面积容许荷载拉压杆的强度计算举例例7-8用两根钢索吊起一扇平面闸门。已知闸门的起门力为60kN,钢索材料的容许应力[σ]=170MPa,试求：钢索所需的直径d。解：每根钢索的轴力为由式（7-7）得得：拉压杆的强度计算举例例7-10图示结构是由两根杆组成的桁架。已知AC杆截面450mm2,BC杆截面250mm2,材料的容许应力[σ]=100MPa,试求结构的容许荷载。解：（1）各杆轴力与荷载F的关系由平衡条件拉压杆的强度计算举例解出：各杆轴力为（2）求容许荷载，由式（7-7）可得拉压杆的强度计算举例所以结构的容许荷载为§7.8拉压超静定问题约束力或内力均可由静力平衡条件求得

——静定问题约束力或内力仅由静力平衡条件不能求得

——超静定问题拉压超静定问题在超静定问题中，存在着“多余”的维持平衡所需的约束。——称为多余约束由于多余约束的存在，未知力（内力或反力）的个数目必然多于独立平衡方程的个数，多出的个数就是超静定次数。因此，解决超静定问题仅有平衡方程是不够的，需要补充条件，才能求解未知力（内力或反力）。求解超静定问题的方法是：独立的平衡方程+补充变形协调条件联立求解。拉压超静定问题例7-11

图示结构为一两端固定的等直杆。已知杆的拉压刚度EA,求两端的约束反力。解：分析杆的受力。杆AB为拉压杆，因此两端的约束反力也是沿轴线方向，两个未知力静力平衡方程：FA+FB=F(a)需要补充条件。考虑变形协调条件

(b)举例拉压超静定问题由胡克定理，写出变形与轴力的关系：(c)(c