通信原理第2章课件(成电2015年上课版)

第2章基础知识

—信号和噪声分析不作为具体考核内容，但该部分很重要。教学要求：后面章节能应用即可（这个要求并不低！）本章的内容确知信号（傅里叶变换）随机信号（平稳随机过程）高斯信号和高斯白噪声信号通过线性时不变系统带通信号和带通系统（等效低通分析）一、确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如正弦信号和各种形状的周期信号等。在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信号在一定程度上都是随机信号。二、通信中的信号和噪声

通信中的信号具有一定的信息量，即具有一定的随机性；通信系统中的噪声不能预测，也具有随机性。

所以，从统计数学的观点看，随机信号和噪声都属于随机过程。2.1确知信号2.1.1信号的基本参数周期（非周期信号的周期可以看作为无穷大）直流分量(即信号的时间平均值）功率和能量（什么是功率信号和能量信号？）均方根值功率单位和分贝周期信号与非周期信号功率信号与能量信号信源输出的信号是能量信号还是功率信号？模拟信号：一般认为是功率信号数字信号：功率信号：长时间观察能量信号：一个码元周期内的信号直流分量功率单位与分贝2.1.2傅里叶变换与信号的频谱密度常见信号的傅里叶变换1、单位冲激函数定义式2、门函数（矩形脉冲）一、常见的信号函数性质3、抽样函数性质：1）Sa（t）是偶函数；2）当t=0时，Sa（t）取最大值；当t=±kπ（k≠0）时，Sa（t）=0；3）随t增加，Sa（t）将逐渐衰减并趋于0；二、傅里叶变换1、表达式如果将表达式中的“角频率”换为“频率”，有何变化？或者表述为2、典型信号的付氏变换或者表述为问题：如何由频谱图得到信号的带宽？低通型信号（基带信号）带通型信号（频带信号）4）5）6）周期信号的傅里叶变换2.1.3能量谱密度和功率谱密度能量信号的相关函数和能量谱密度功率信号的相关函数和功率谱密度信号带宽一、能量信号的能量谱密度二、能量信号的相关函数如果是实函数，则去掉共轭符号。三、能量信号的能量谱密度和相关函数功率信号的功率谱密度和相关函数可以证明：功率信号的相关函数和功率谱呈付氏变换。1）功率2）功率谱密度3）相关函数结论例题单边谱和双边谱2.1.4信号的频带与带宽基带信号和频带信号常见的带宽绝对带宽、零点带宽其他定义功率带宽、等效矩形带宽、3dB带宽信号带宽强调：正频率部分！2.2随机信号即随机过程本节内容随机过程的一般表述随机过程的基本特性（概率密度和数字特征）随机变量的统计特征（复习）平稳随机过程（判定、相关函数和功率谱）多个信号的联合特性2.2.1随机过程的一般表述随机过程的特征1、随机过程是时间的函数，但在任一时刻上观察到的值是不确定的，是一个随机变量。2、随机过程可以看作全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性体现在到底出现哪个实现是不确定的。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。随机过程的特征可以表述为：

横向上，它就是一个波形、一个实现（样本函数）；

纵向上，对于某个时刻t，它就是一个随机变量。通信中的信号和噪声

通信中的信号具有一定的信息量，即具有一定的随机性；通信系统中的噪声不能预测，也具有随机性。

所以，从统计数学的观点看，随机信号和噪声都属于随机过程。2.2.1随机过程的统计特性随机变量的复习（以“连续随机变量”为例）1、研究一个随机变量X的统计特性1）概率分布分布函数概率密度2）数字特征均值：方差：自相关：2、研究两个随机变量X、Y的统计特性1）概率分布联合分布函数概率密度2）数字特征均值：如果X、Y相互独立，则如果X、Y相互独立，则方差：如果X、Y相互独立，则互相关：协方差：如果随机变量X、Y相互独立，则不相关。反之，不成立。如果X、Y相互独立，则一、概率分布1）分布函数任意时刻，随机过程是一个随机变量。一维分布函数n维分布函数

随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。

显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。2.2.2随机过程的统计特征2）概率密度二、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。均值：方差：自协方差:自相关:互相关和互协方差设和分别表示两个随机过程则：例题设随机变量Y是随机变量X的函数，则离散：连续：例题2.2.3平稳随机过程重点：平稳随机过程的判定一、平稳随机过程的定义

1）狭义平稳：平稳随机过程是指它的统计特性不随时间的推移而变化。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有设随机过程{x(t)，t∈T},若对于任意n和任意u，有则称x(t)是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。2）广义平稳随机过程

由定义的平稳随机过程是对于一切n都成立，这在实际应用上很复杂。为此引入另一种平稳随机过程的定义：设有一个二阶矩随机过程X(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是时间间隔的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。说明：当均值为常数，自相关函数仅是时间间隔的函数时，可以证明此时方差为常数。平稳随机过程ξ(t)的自相关函数

自相关函数仅是时间间隔t2-t1的函数。如果X(t)是狭义平稳随机过程，可以证明得到：平稳随机过程ξ(t)的均值a为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。证明：狭义平稳必定是广义平稳。由定义的平稳随机过程称为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。

说明：狭义平稳必定是广义平稳，反之不成立。非特殊点明，通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定为广义平稳随机过程，简称平稳过程。例题1、若随机过程Y（t）=3X（t）+4，其中X（t）是均值为0，方差为1的平稳随机过程，试问Y（t）是否平稳？2、若X是随机变量，试问Y（t）=tX是否平稳？二、各态历经性

平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个样本函数，如果样本函数的时间平均分别等于随机过程的统计平均，相关函数的时间平均也可代替统计平均，则称该平稳随机过程具有各态历经性。即而且

“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。结论：

具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。具有遍历性，将使得实际测量和计算大大简化。

例题三、平稳随机过程自相关函数和功率谱密度

对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。

1、、自相关函数的性质设X(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数例：已知一个平稳随机过程的相关函数为：计算：随机过程的均值和方差。随机过程的直流功率和交流功率。2、平稳随机过程的功率谱密度

随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。

由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均所以，ξ(t)的平均功率s则可表示成如何方便地求功率谱Pξ(ω)呢？

我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，通过证明得到维纳-辛钦定理：

随机过程的相关函数和功率谱密度呈付氏变换。维纳-辛钦定理：随机过程的相关函数和功率谱密度呈付氏变换。2.2.4两个信号的联合特性了解2.3高斯信号与高斯白噪声一、一维正态分布一维概率密度：高斯过程在任意时刻上，是一个随机变量。若随机过程的任何n维分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程。二、二维正态分布

对于一般的随机变量，当随机变量X和Y相互独立时，X和Y不相关；反之，当X和Y不相关时，他们不一定相互独立。而对于高斯过程，相互独立和互不相关是等价的。三、高斯过程的特点：3、高斯过程的n维分布仅由均值、方差和两两之间的归一化协方差所决定。1、若干个高斯过程的和的过程仍是高斯过程。2、高斯过程通过线性系统后的过程仍是高斯过程。4、高斯过程若为广义平稳，则也是狭义平稳。5、高斯过程的随机变量之间如果互不相关，则也统计独立。例：四、高斯白噪声1、白噪声：指噪声的功率谱密度在频域内是常量。即随机过程通常是按它的概率分布和功率谱来进行分类的。就概率分布而言，服从高斯分布的的随机过程占有重要地位；就功率谱特点而言，白噪声对通信理论是极为重要的。2、信道中噪声的概率分布服从高斯分布。3、信道中的噪声为高斯噪声，而且在相当宽的频谱范围内具有平坦的功率谱密度，因此，可认为信道噪声为高斯白噪声。

上面定义的白噪声实际上是不存在的。但是在通信系统中有很多噪声，它们的功率谱的频率分布范围远远超过通信系统的工作带宽，因此我们就认为它们是白噪声，这样可以使分析大大简化。例题LPF高斯白噪声带限高斯白噪声均值一般为0，方差为高斯白噪声通过LPF后输出噪声的一维概率密度？例题高斯白噪声的功率谱2.4信号通过线性时不变系统2.4.1信号通过线性系统线性系统时域：线性系统频域：功率谱密度：2.4.2理想不失真系统2.4.3平稳随机过程通过线性系统h(t)如果线性系统为物理可实现系统，则问题：1、如果输入为平稳随机过程，通过线性系统后，输出是否为平稳随机过程？2、如何计算输出随机过程的均值、相关函数、功率谱密度？输出过程的统计特性从数学期望与自相关函数的性质可见，当输入为平稳随机过程时，这时的输出过程也是一个平稳过程。利用公式3、的功率谱密度可以得到：所以，.

例：如果X（t）是平稳的随机过程，自相关函数为试计算通过如下所示的系统后的自相关函数和功率谱密度。相加延时T输入输出解：2.5

带通信号带通信号和带通系统的等效低通分析是很重要的分析方法。教学要求：能理解频带信号的等效低通表示。无考核要求。一、希尔伯特（Hilbert）变换3、结论：2、频谱的变换：1、定义：如果用表示信号的希尔伯特变换，则：和幅频特性相同。比相位滞后90o。例题：解：假设频带信号f(t)是实函数。fc-fcF(f)则其希尔伯特变换因此“解析信号”的引出二、解析信号三、带通信号的等效低通表示1．带通信号（频带信号）定义：信号f(t)称为是带通的，指它的Fourier变换F(f)集中在某一个频率附近。通信中，带通信号通常是指窄带信号（信号频谱在某个高频f0

附近一个小领域上不为零，在其它地方为零）。

2、如何得到带通信号的等效低通表示？2）把Z(f)向左移f0，得到f(t)

的低通等效表示。如何得到带通信号f(t)的复包络表示（即等效低通表示）？1)首先在频域上删除F(f)的负频分量，再乘以2，得到z(t)的频谱Z(f)注：等效低通信号的能量为频带信号的2倍。频带信号的表示方法总结：带通信号的低通表示以“理想带通系统”为例四．带通系统的低通表示五、频带信号通过带通系统例题：已知s(t),h(t)，计算so(t)。该题旨在理解等效低通分析方法，无考核要求！方法一、以往的解题思路复习：矩形脉冲之间的卷积方法二、利用等效低通分析方法2.6带通高斯白噪声要求能够应用结论来分析（参见本节补充的例题），不要求证明过程。本节的结论将在第3章中应用，它是模拟调制系统抗噪声性能分析重要的理论基础。一、窄带的定义和表达式1、“窄带”的定义： 频谱集中在中心频率附近的带宽之内，要求。通信中的很多的带通信号和带通噪声都满足“窄带”的条件。2、“窄带”的得来1）低频信号经过“乘法器”之后2）白噪声经过带通滤波器（BPF）。3、“窄带”平稳随机过程的表示

用示波器观察窄带随机过程的一个实现波形，它是一个频率近似为，包络和相位缓慢变化的正弦波。所以，窄带随机过程可用下式表示：窄带随机信号的表示等价于X(t)的复包络：二、零均值的窄带平稳高斯过程的性质1、正交分量和同相分量1）同相分量和正交分量同样为平稳高斯过程。2）在同一时刻，同相分量和正交分量是不相关或相互独立的。3）对于一个功率谱密度为的窄带随机过程，其同相分量的功率谱密度和正交分量的功率谱密度为：2、包络和相位1）包络的一维分布是瑞利分布。2）相位的一维分布是均匀分布。3）就一维分布而言，包络和相位是统计独立的。三、带通高斯白噪声白噪声通过理想带通信道后得到的。BPF

白噪声窄带高斯噪声带通高斯白噪声及其同相分量、正交分量的功率谱密度均值一般为0，方差为窄带白噪声通过相干解调器（用于第3章）问题：1）这几个信号的功率谱密度为多少？2）这几个信号的平均功率为多少？3）是否可以从时间平均来计算平均功率？（假定高斯噪声具有各态历经性）例题：BPFLPF相干解调器已知进入信道的信号为，其中是一个最高频率为的低频信号，假设信道噪声为单边功率谱为的高斯白噪声，BPF是中心频率为f0，带宽为的带通滤波器，（1）计算相干解调器的输入信号和噪声的功率，输出信号和噪声的功率。（2）假设的平均功率为0.1W，计算输入信噪比和输出信噪比。四、正弦波加窄带高斯噪声2、合成信号的包络同相分量和正交分量2.7平稳随机过程通过