非线性动力学演示文稿

非线性动力学演示文稿第一页，共六十页。

BeyondPerturbation

IntroductiontoHomotopyAnalysisMethod第二页，共六十页。Outline

ConceptofHomotopyinTopologyBasicideasofHomotopyAnalysismethodExamplesApplicationsofthetheoryinsolvingnonlinearequationsConclusionsReferences第三页，共六十页。“摄动方法”的本质：应用方程中的小（大）物理参数，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题。优点：物理意义明确；简单、易懂；缺点:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参数时使得摄动展开法面临困难(2)摄动展开解只在参数比较小的情况下能够给出较好的近似,随着“小参数”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)无法确保解的收敛第四页，共六十页。怎样的近似解析方法才是最理想的？不依赖小参数确保解的收敛性，适用于强非线性问题第五页，共六十页。拓扑学中的几个基本概念拓扑和拓扑空间

如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑。

具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。第六页，共六十页。同伦的基本概念两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。第七页，共六十页。同伦的定义设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射，即

f：X→Y，g：X→Y，如果存在连续映射H：X×Ｉ→Y（这里Ｉ=[0,1]），使得对任何x∈X，满足：则称f和g是同伦的,称H是由f到g的一个同伦或伦移,即

H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，同伦是关于映射的等价关系f（x）=H（x,0）

g（x）=H（x,1）H（x,q）示意图第八页，共六十页。二、“同伦分析方法”简述拓扑理论传统的同伦概念：

其中，q为嵌入变量.易知，q=0时，H(x;0)=f(x);q=1时，H(x;1)=g(x).因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函数H(x,q)从f(x)连续变化到g(x).这样，H(x,t)建立起从f(x)到和g(x)之间的联系.在拓扑(topology)〕理论中，这种连续的变化称为同伦(homotopy)，表示为

第九页，共六十页。Liao提出“广义同伦”之概念：第十页，共六十页。第十一页，共六十页。BasicideasofHAME1.非线性代数方程f(x)=0.(构造同伦)

设为已知的初始猜测解,嵌入变量

为一未知的嵌入变量的函数,我们构造如下的一个单参数的非线性代数方程:

(1)当时,上述方程为线性方程即第十二页，共六十页。当时,方程(1)变为则,就是原非线性方程f(x)=0的解.因此,当嵌入变量从0变化到1时,从初始猜测解变化到非线性代数方程解,因此方程(1)构造了一个的同伦.设存在无穷阶导数第十三页，共六十页。根据Taylor定理,有则如何求?(2)将(1)式对p求一阶导数(3)第十四页，共六十页。令

得则将(3)式对p再求一次导数(4)(5)令

得(6)第十五页，共六十页。类似地，可以求得k阶变形导数，则一阶近似公式为（时为牛顿迭代公式）第十六页，共六十页。E2.非线性微分方程whereisanonlinearoperator,denotesindependentvariable,isanunknownfunction,respectively.(1)Constructzero-orderdeformationequationWhere∈[0,1]istheembeddingparameter,isanonzeroauxiliaryparameter,isanauxiliaryfunction,isanauxiliarylinearoperator,isaninitialguessof,isaunknownfunction,respectively.(7)第十七页，共六十页。Obviously,whenp=0andp=1,itholdsThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.ExpandinginTaylorserieswithrespectto,onehaswhere(8)第十八页，共六十页。Iftheauxiliarylinearoperator,theinitialguess,theauxiliaryparameter,andtheauxiliaryfunctionaresoproperlychosen,theseries(8)convergesat,onehaswhichmustbeoneofsolutionsoforiginalnonlinearequation.Asand,Eq(7)becomes(9)whichisusedmostlyinthehomotopyanalysismethod.(2)Constructmth-orderdeformationequation第十九页，共六十页。DifferentiatingEq.(7)m

timeswithrespecttotheembeddingparameterp

andthensettingp=0andfinallydividingthembym!,wehavetheso-calledmth-orderdeformationequationDefinethevector线性方程(10)？？第二十页，共六十页。Itshouldbeemphasizedthatform≥

1isgovernedbythelinearequation(10)withthelinearboundaryconditionsthatcomefromoriginalproblem,whichcanbeeasilysolvedbysymboliccomputationsoftwaresuchasMapleandMathematica.第二十一页，共六十页。E3.非线性微分方程求解Accordingtothegoverningequationandtheinitialcondition(11),thesolutioncanbeexpressedbyasetofbasefunctions(11)intheformwhereisacoefficienttobedetermined，Thisprovidesuswiththeso-calledruleofsolutionexpression,i.e.,thesolutionof(11)mustbeexpressedinthesameformas(12)andtheotherexpressionssuchasmustbeavoided.(12)第二十二页，共六十页。Accordingto(11)and(12),wechoosethelinearoperatorwiththepropertyWhereisconstant.From(11),wedefineanonlinearoperator第二十三页，共六十页。Accordingto(11)andtheruleofsolutionexpression(12),itisstraightforwardthattheinitialapproximationshouldbeintheform(1)Constructzero-orderdeformationequationThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.(2)Constructmth-orderdeformationequation第二十四页，共六十页。第二十五页，共六十页。最后得到

ruleofcoefficientergodicity，H（τ）=1第二十六页，共六十页。得到一族解，通过调节级数收敛第二十七页，共六十页。二、“同伦分析方法”简述“同伦分析方法”特点毋须任何小参数，可将一个非线性问题转化为无穷多个线性问题！可自由选取辅助线性算子、初始近似:

——线性子问题中的线性算子毋须与原始非线性方程中的线性算子相同或密切相关！第二十八页，共六十页。二、“同伦分析方法”简述初步形成一个较为完整的理论体系（1）提出三个原则:解表达原则（Ruleofsolutionexpression）解存在原则（Ruleofsolutionexistence）完备性原则（Ruleofcoefficientergodicity）指导辅助线性算子、初始近似、辅助函数之选取（2）证明了“收敛性定理”第二十九页，共六十页。同伦分析方法之优点不同于摄动方法，“同伦分析方法”不依赖于小参数的存在，因而适用范围更广；不同于所有其它分析方法，“同伦分析方法”本身提供了一种简单的方法调节或控制解析解级数的收敛区域；“同伦分析方法”提供选择不同基函数之自由，从而能更有效地表达非线性问题的解。第三十页，共六十页。二、“同伦分析方法”简述广泛应用（1992年-2002年）非线性波浪问题边界层流动和热传导问题非线性振动问题极限环问题圆球黏性阻力（Navier-Stokes方程）物理、生物及宇宙学方面的非线性问题证明“同伦分析方法”之有效性和潜力第三十一页，共六十页。(1)不依赖小参数二阶近似在整个区间内的最大误差仅为0.48%求解范例第三十二页，共六十页。同伦分析方法之优点圆球绕流问题应用“同伦分析方法”,得到150年来与实验结果吻合得最好的圆球阻力理论公式（2002年）。应用“同伦分析方法”求解一些经典非线性难题第三十三页，共六十页。同伦分析方法之优点(2)确保解的收敛性——解的收敛区域可以调节和控制第三十四页，共六十页。(3)有选择基函数之自由对任何参数

我们都得到如下形式的周期解

第三十五页，共六十页。同伦分析方法之优点

Liao,S.andTan,Y.,“Ageneralapproachtoobtainseriessolutionsofnonlineardifferentialequations”,StudiesinAppliedMathematics,119:1-58,2007.第三十六页，共六十页。非牛顿流体边界层流动

第三十七页，共六十页。非牛顿流体边界层流动第三十八页，共六十页。三维非定常旋转黏性流动

第三十九页，共六十页。三维非定常旋转黏性流动

Tan.YandLiao,S.,ASMEJ.AppliedMech.74:1011-1018,2007第四十页，共六十页。（B）发现新解(1)可渗透拉伸变形平板边界层流动：

第四十一页，共六十页。（B）发现新解应用“同伦分析方法”,找到被数值方法遗漏的一个新解!第四十二页，共六十页。（B）发现新解(2)Cheng-Minkowycz流动:

第四十三页，共六十页。呈代数衰减的无穷多个解

应用“同伦分析方法”,LiaoandMagyari(2006)找到被数值方法遗漏的、呈代数衰减的无穷多个新解！第四十四页，共六十页。（C）突破传统思想第四十五页，共六十页。（C）突破传统思想求解非线性问题时，我们所拥有的自由，远比我们过去想象的要大得多！正面意义：提出更好的、求解非线性问题的解析方法和数值方法许多全新的、有趣的问题有待研究和探索(请见《力学进展》有关综述论文)第四十六页，共六十页。（D）海洋工程中的应用“同伦分析方法”被成功应用于研究海洋工程中的一些基础理论问题，如：非线性波浪；梁的大扰度弯曲；非线性波与非均匀流相互作用；第四十七页，共六十页。（D）海洋工程