机械工程控制基础第七章课件

控制系统的稳定性和稳态误差（第六章&第七章）稳态误差(steady-stateerrors,ess)：系统从一个稳态过度到另一个稳态，或系统受扰动又重新平衡后，系统可能会出现偏差，这种偏差称为稳态误差。（第七章）稳定性(stability)：若某个处于平衡状态的系统受到外来作用的影响，经过一个过渡过程仍能回到平衡状态，这个系统就是稳定的，否则系统不稳定。（第六章）

1第七章控制系统的误差分析与计算本章主要研究控制系统的稳态误差的概念（基于系统的元件都是理想化）及计算方法。稳态误差的大小与系统所用的元件精度、系统的结构参数和输入信号的形式都有密切的关系。控制精度是对控制系统的一项基本要求，而系统的稳态误差是衡量系统精度的一种尺度。2第一节相关概念偏差E(s)偏差的作用点：输入信号与反馈信号的相加点偏差的大小：输入信号/（1+开环传递函数）3当偏差E(s)等于零时，系统将不进行调节，这时系统的输出为期望值Yd(s)：系统输出的期望值Yd(s)

期望值理论定义：系统不存在偏差时的输出期望值的物理意义：控制系统的理想状态期望值的大小：输入信号/反馈回路传递函数5误差ε(s)系统输出的期望值Yd(s)与输出的实际值之差误差理论定义：输出的期望值与实际值之差当系统为单位反馈时，误差等于：①输入减输出②偏差。6图中虚线部分就是误差所处的位置。对于单位反馈系统，误差等于偏差。7由稳态误差εss(t)公式可知，它与两个因素有关：①系统的开环传递函数G(s)H(s)②输入函数X(s)

影响稳态误差的两个因素第二节静态误差系数9系统的类型系统的开环传递函数，可写成：系统按开环传递函数所包含的积分环节数目的不同，即N=0、N=1、N=2、……，分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统（Ⅱ型以上的系统很少，因为此时系统稳定性将变差）。

10输入函数的形式输入函数X(s)的类型常采用如下几种：阶跃函数：斜坡函数：加速度函数：因此，代入不同的开环传递函数G(s)H(s)与不同的输入函数X(s)，即可求得系统的稳态误差。11静态位置误差系数Kp系统对阶跃输入

的稳态误差为：13

0型系统（N=0）静态位置误差系数为：14Ⅰ型系统（N=1）静态位置误差系数为：

Ⅱ型系统（N=2）静态位置误差系数为Kp=∞15静态速度误差系数Kv系统对斜坡输入的稳态误差为：

17

0型系统（N=0）

静态速度误差系数为：18Ⅰ型系统（N=1）静态速度误差系数为：19单位反馈系统对斜坡输入的响应曲线及稳态误差0型系统不能跟踪斜坡输入；Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但有一定的稳态偏差开环放大系数K越大，稳态偏差越小；Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统能够准确地跟踪斜坡输入，稳态偏差为零。0型Ⅰ型Ⅱ型y(t)y(t)y(t)tttoooy(t)x(t)y(t)x(t)y(t)x(t)21系统对加速度输入的稳态误差为：静态加速度误差系数Ka22

0型系统（N=0）静态加速度误差系数为：

23Ⅱ型系统（N=2）

静态加速度误差系数为：

25下图为Ⅱ型单位反馈系统对加速度输入信号的响应曲线和加速度偏差。由讨论可知，0型和Ⅰ型系统都不能跟踪加速度输入信号；Ⅱ型系统能够跟踪加速度输入信号，但有一定的稳态偏差，其值与开环放大系数K成反比。

y(t)y(t)x(t)to26例7-2单位负反馈控制系统的开环传递函数如下：分别求出当输入信号为1(t)，t和t2时系统的稳态误差。(1)解:偏差系数输入信号稳态误差29(2)解:偏差系数输入信号稳态误差30例7-3求如图所示二阶振荡系统在单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位加速度输入时的稳态误差。解：开环传递函数可化为：开环放大系数为：

系统为I型，单位阶跃响应时，单位斜坡响应时，单位加速度响应时，31例7-4单位反馈控制系统开环传递函数为：确定位置误差系数、速度误差系数和当输入r(t)＝2t时系统的稳态误差。解：开环传函化为：

位置误差系数：

速度误差系数：

当输入r(t)=2t时，32例7-5某一仿形铣床加工一圆形零件，当仿形指的最高速度为0.5rad/s时，要求误差等于0.5˚（0.00087rad），这时系统应为何种类型？其Kv应为多少？(提示：仿形指为斜坡输入)当输入为斜坡输入的时候，要想存在误差，系统应为几型：仿形指输入的表达式：误差等于0.5˚（0.00087rad）：x(t)=0.5t、ess=0.00087rad；Ｉ型系统。输入幅值R=0.5；求Kv：这个系统是0型？Ｉ型？Ⅱ型系统？该系统的输入的幅值R和稳态误差ess？33解：由于仿形指为斜坡输入，即

x(t)=0.5t，则X(s)=0.5/s2，而ess=0.00087rad，为使刀具能很好跟踪仿形指，所以系统应为Ｉ型系统，即：34例7-6设温度计在1分钟内达到准确值的98%，设温度计为一阶系统，求时间常数。若将温度计放在澡盆内，澡盆内温度以10°/分的速度线性变化，求温度计的误差。解：(1)一阶系统的传递函数为：单位阶跃响应为：令t=1得：解得：T=0.256min

(2)在输入r(t)=10t作用下的时间响应:所以：例如当t=1min时，e(t)=2.53℃

35其它输入信号时的稳态误差系统承受除三种典型信号之外的某一信号x(t)输入，此信号x(t)在t=0点附近可以展开成泰勒级数为：高阶项为微量，可以忽略，取到二次项，输入信号为：把输入信号x(t)看作阶跃、斜坡、加速度函数的合成，根据叠加原理最后将这些误差叠加起来就得到总稳态误差。36例7-7单位反馈系统开环传递函数，

求：（1）Kp，Kv，Ka；（2）当r(t)=5t时的εss；（3）当r(t)=2+2t2+t时的ess。解:(1)位置误差系数：速度误差系数：加速度误差系数：

(2)当r(t)=5t时，(3)当r(t)=2+t+2t2

时，37

小结同一系统，输入信号不同，系统的稳态误差不同。位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、加速度时所引起的输出上的误差。对于单位反馈控制系统，稳态误差等于稳态偏差。对于非单位反馈控制系统，先求出稳态偏差，再按稳态偏差与稳态误差之间的公式求出稳态误差。如为非阶跃、斜坡、加速度输入信号时，可把输入信号在时间附近展开成泰勒级数，这样，可把控制信号看成几个典型信号之和，则系统的稳态误差可看成是上述典型信号分别作用下的误差之和。38稳态偏差的计算如图所示的系统同时受到输入信号X(s)和扰动信号N(s)的作用，它们所引起的稳态偏差，要在输入端度量并叠加。第三节稳态误差的计算39求输入信号X(s)作用下的稳态偏差，可令N(s)=0：40求扰动信号N(s)引起的稳态偏差EN(s)，可令X(s)=0：41系统在输入信号和扰动信号作用下的总偏差为：总的稳态偏差为：

42求输入信号X(s)作用下的稳态误差，可令N(s)=0：稳态误差的计算43求扰动信号N(s)引起的稳态误差，可令X(s)=0：44系统在输入信号和扰动信号作用下的总稳态误差为：45例7-8某调速系统如图所示，当输入电压为10V时，求速度的稳态误差。解法1：几乎所有的题目中求的都是稳态误差，而非稳态偏差，这和实际系统的状况是有关的。因为大部分实用的控制系统都被设计成了单位反馈的形式。由于题中的系统为非单位反馈，因此要想求得速度的稳态误差，需将上面的框图变为单位反馈框图。46等效框图47根据标准方框图，进行转化得到：与标准方框图对比框图转化48此时系统的开环传递函数为：由上式可见，系统为0型系统，开环放大倍数K=100，原系统输入为阶跃函数。经等效变换后，其稳态误差为：49解法2：根据稳态误差计算公式前向通路传递函数：反馈通路传递函数：系统的输入为：带入得到：50例7-9如图所示的电液伺服阀的指令输入（阶跃信号）为

i(t)=0.01A，挡板组件受热变形造成的挡板角位移干扰输入（阶跃信号）为f(t)=-0.000314rad，求这两个输入造成的稳态误差。51解法1：由于题目要求计算输出量

xv(t)的稳态误差，且此系统不为单位反馈系统，为此先化为单位反馈系统：等效框图52对于具有给定输入与扰动输入而引起总的稳态误差，可分别求引起的稳态误差，再按叠加原理，即可得到：53系统仅在X(s)作用下的稳态误差εssx：54系统仅在F(s)作用下的稳态误差εssf：5556输入合并为：解法2：即：57首先求稳态偏差，然后根据稳态偏差和稳态误差之间的关系（使用稳态误差公式计算）：求出稳态误差即可。58首先求在I(s)单独作用下的稳态误差ssi：59在I(s)单独作用下的稳态误差ssi为：60然后求在F(s)单独作用下的稳态误差ssf

：61在F(s)单独作用下的稳态误差ssf

为：62例7-10控制系统如图所示，定义误差为ε(s)=R(s)-C(s)。设输入信号为r(t)=at，其中a为任意正常数。试证明适当选择Ki的值，可使控制系统对斜坡输入的稳态误差为零。已经系统参数K、T、Ki均为正的常数。分析首先明确：本题已明确定义误差E(s)=R(s)-C(s)稳态误差:1已知稳态误差为零:2已知输入为斜坡信号:3已知控制系统结构图:写出闭环传递函数63证明：系统的闭环传递函数为：所以：因为：所以稳态误差为：因为：所以：即选择可使系统对斜坡输入的稳态误差为0。将上式代入误差公式：64例7-11控制系统如图所示，(a)、(b)中X(s)均为1\s。求：(1)当开环增益为Kc=1/K时，系统的稳态误差εss。(2)当闭环增益Kp满足KpK>>1时，系统的稳态误差εss。(3)由于环境变化和元件老化等因素使增益K增加10％，且Kc=1/K、KpK＝100，比较开环和闭环系统的控制精度。(a)(b)65解：(1)开环系统传递函数为：因为，所以

66(2)闭环系统稳态误差：因为，所以

67而在闭环控制系统中:(3)以

取代图(a)和(b)中的K，并令

则在开环系统中：68第四节减小稳态误差的方法一．提高系统的开环增益00Ⅱ型0Ｉ型Ｏ型

加速度

斜坡阶跃输入信号系统类型0型系统跟踪阶跃、Ⅰ型系统跟踪斜坡、Ⅱ型系统跟踪加速度信号时，当系统的开环增益增大时，系统的稳态误差下降过大的开环增益又会使系统的稳定性变差—过犹不及（参看例6-4）69例7-12求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差ssn其中：解：控制器G1(s)的放大系数K1↑扰动误差↓阻尼↓振荡↑70二．增加系统的型号00Ⅱ型0Ｉ型Ｏ型

加速度

斜坡阶跃输入信号系统类型系统的开环(前向通路)传递函数中无积分环节(0型系统)，跟踪阶跃信号而引起的稳态误差为常数，若含有一个积分环节(Ⅰ型系统)，跟踪阶跃信号的稳态误差为零；若含有两个积分环节(Ⅱ型系统)，跟踪阶跃信号和斜坡信号的稳态误差均为零。过多的积分环节又会使系统的稳定性变差—过犹不及71例7-13求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差ssn其中：72例7-12例7-13例7-7与例7-6比较可知，前者比后者的前向通路多了1个积分环节，而稳态误差前者为0，后者为非零常数，所以，适当增加系统前向通路的型号可以减少系统的稳态误差。73三．复合控制图(a)所示的闭环控制系统，为使稳态误差减小，可以引进补偿装置Gc(s)，给定量X(s)通过这一环节，对系统进行开环控制。如图(b)所示，引入的补偿信号与偏差信号E(s)一起，对系统进行复合控制。74图(b)复合控制的闭环传递函数为：若使E(s)=0，则：75因而按上式来选择补偿环节Gc(s)，则稳态误差为零，即Y(s)=X(s)，输出再现输入量。这个条件又称为按给定输入的不变性条件。76四．前馈控制为消除由于扰动输入而引起的稳态误差，可采用前馈控制。某闭环控制系统如图(a)，把扰动输入N(s)经补偿装置Gc(s)送到输入端而与给定输入信号X(s)共同控制这一系统，即为前馈控制，如图(b)所示。77把E(s)代入Y(s)中，整理得：由上式可看出输出量由给定输入量X(