弹性力学平面问题的极坐标解答

弹性力学平面问题的极坐标解答弹性力学1第一页，共六十九页，2022年，8月28日第四章

平面问题的极坐标解答本章要点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。2第二页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要3第三页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学4极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面极坐标中的平衡微分方程一AC面r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。应力正向规定：第四页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学5考虑微元体平衡（厚度为1），将力投影到中心径向轴上：xyOPABC极坐标中的平衡微分方程一两边同除以，并略去高阶小量：第五页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学6两边同除以，并略去高阶小量：极坐标中的平衡微分方程一xyOPABC将力投影到中心环向轴上：第六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学7——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。极坐标中的平衡微分方程一xyOPABC方程说明：第七页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要8第八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学91.几何方程xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）极坐标中的几何方程与物理方程二环向线段PB的转角：（d）第九页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学10径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）xyOPAB极坐标中的几何方程与物理方程二第十页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学11yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：（h）（i）环向线段PB的转角：剪应变为：（j）极坐标中的几何方程与物理方程二第十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学12(3)总应变（4－2）——极坐标下的几何方程极坐标中的几何方程与物理方程二第十二页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学132.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）极坐标中的几何方程与物理方程二第十三页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要14第十四页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学15xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系（2）应力分量与应力函数关系极坐标中的应力函数与相容方程三第十五页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学16(a)(b)极坐标中的应力函数与相容方程三第十六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学17(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系：极坐标中的应力函数与相容方程三第十七页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学18（3）极坐标中的相容方程(a)(b)将式(a)与(b)相加极坐标中的应力函数与相容方程三第十八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学19极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（4－6）说明：方程（4－6）为常体力情形的相容方程。极坐标中的应力函数与相容方程三第十九页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要20第二十页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学21

设已知极坐标中的应力分量、、。试求直角坐标中的应力分量、、。在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为及。应力分量的坐标变换式四在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。第二十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学22另取微小三角板B应力分量的坐标变换式四剪应力互等第二十二页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学23(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量应力分量的坐标变换式四综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：第二十三页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要24第二十四页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学25应力分量相容方程轴对称应力与相应的位移五极坐标系下应力分量与相容方程第二十五页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学26求解方法：——逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（2）应力分量（3）相容方程2.相容方程的求解将相容方程表示为：轴对称应力与相应的位移五（1）应力函数－极坐标平面内仅为r的函数第二十六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学27轴对称问题拉普拉斯算子代入相容方程成为为四阶常微分方程，其全部通解只有4项。积分得轴对称应力函数通解：（A、B、C、D

为待定常数）3.应力分量将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答轴对称应力与相应的位移五第二十七页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学284.位移分量对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量(a)由式（a）的第一式积分，得轴对称应力与相应的位移五第二十八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学29将式（b）代入式（a）中第二式，得将上式积分，得:将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，得或写成：（b）——是任意的待定函数（c）——是r

任意函数要使该式成立，两边须为同一常数。轴对称应力与相应的位移五第二十九页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学30（d）（e）式中F为常数。对（d）积分有：（f）其中H为常数。对式（e）两边求导其解为：（g）（h）将式（f）（g）

（h）代入式（b）（c），得（4-12）轴对称应力与相应的位移五第三十页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要31第三十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学32已知：求：圆环应力分布。轴对称问题应力应力分量表达式：（4－11）边界条件：（a）将式（a）代入应力分量，有：（b）圆环或圆筒受均布压力六第三十二页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学33式(b)中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项圆环或圆筒受均布压力六要使单值，须有：B=0，由式（b）得将其代回应力分量式，有：第三十三页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学34（4-13）（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）圆环或圆筒受均布压力六（压应力）（拉应力）第三十四页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学35——具有圆形孔道的无限大弹性体。（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：圆环或圆筒受均布压力六第三十五页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要36第三十六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学37问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压q作用，求圆筒的应力。1.分析与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的厚壁圆筒；(b)仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压p的两个条件：径向变形连续：径向应力连续：压力隧洞七第三十七页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学382.求解(1)圆筒的应力与边界条件应力：（a）边界条件：(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：（b）边界条件：将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：压力隧洞七第三十八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学394个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。(c)(d)由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限大弹性体的径向位移为：压力隧洞七第三十九页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学40利用：(e)要使对任意的成立，须有(f)由(d)式知压力隧洞七第四十页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学41(g)其中：式（g）与式（c）（d）联立求解（4-16）圆筒及无限大弹性体应力分量式(f)压力隧洞七第四十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学42讨论：（1）完全接触压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：（2）非完全接触（光滑接触）接触条件：当n<1时，应力分布如图所示。位移：应力：位移：压力隧洞七第四十二页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要43第四十三页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学441.孔边应力集中概念

由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题

带有圆孔的无限大板（B>>a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。求：孔边附近的应力。圆孔的孔边应力集中八第四十四页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学45AOxybAArA原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b（2）问题的求解

问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。

取一半径为r=b(b>>a），在其上取一点A的应力，有：由应力转换公式：圆孔的孔边应力集中八第四十五页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学46新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（b）ba将外边界条件（a）分解为两部分：（c）ba问题2圆孔的孔边应力集中八第四十六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学47

问题1的解：内边界外边界（b

该问题为轴对称问题，其解为

当b>>a时，有（d）问题1ba圆孔的孔边应力集中八第四十七页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学48

问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界（c）

由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。

又由极坐标下的应力分量表达式：

可假设应力函数为：ba问题2

将其代入相容方程：圆孔的孔边应力集中八第四十八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学49

该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：圆孔的孔边应力集中八第四十九页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学50

相应的应力分量：

对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界外边界（c）

（e）ba问题2圆孔的孔边应力集中八第五十页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学51ba问题2代入应力分量式（e）,有

（f）圆孔的孔边应力集中八第五十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学52将问题1和问题2的解相加,得全解：讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正应力：Ab——齐尔西（G.Kirsch）解3q2qq0－q90°60°45°30°0°圆孔的孔边应力集中八第五十二页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学53（3）沿x轴，θ=0°，环向正应力：圆孔的孔边应力集中八（2）沿y轴，θ=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar第五十三页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学54（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：圆孔的孔边应力集中八第五十四页，共六十九页，2022年，8月28日一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章

平面问题的极坐标解答内容提要55第五十五页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学56xyOP1.楔顶受有集中力P作用

楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力P

，与中心线的夹角为β，求：（1）应力函数的确定因次分析法：半平面体在边界上受集中力九由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：

（a）将其代入相容方程，以确定函数第五十六页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学57——4阶常系数齐次的常微分方程通解：其中A，B，C，D为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：xy

（4-20）（对应于无应力状态）xyOP半平面体在边界上受集中力九第五十七页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学58（2）应力分量的确定xyOP边界条件：——自然满足ab

（b）任取一圆弧，其上的应力应与楔顶的力P平衡。将式（b）代入，有：半平面体在边界上受集中力九第五十八页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学59积分得：代入式（b）

（4-21）——密切尔（J.H.Michell）解答xyOPab半平面体在边界上受集中力九第五十九页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学60两种特殊情况：P（1）应力对称分布应力反对称分布PxyOabxyOab半平面体在边界上受集中力九（2）第六十页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学61(1)应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到——极坐标表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得PxyO无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用2.半平面边界受法向集中力作用或将其改为直角坐标表示

（4-23）半平面体在边界上受集中力九第六十一页，共六十九页，2022年，8月28日弹性力学62(2)位移分量直角坐标表示的应力分量假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为PxyO将式代入

（4-24）