弹塑性平面问题

弹塑性平面问题第一页，共一百七十八页，2022年，8月28日弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题.第一类边值问题

在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。第二类边值问题

给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。第三类边值问题

称这类问题为混合边值问题。

问题的提法第二页，共一百七十八页，2022年，8月28日求解以上三类边值问题有相应的方法，即位移法(2)应力法(3)混合法给定位移边界条件,宜采用位移法.给定应力边界条件,宜采用应力法.含有两种边界.逆解法和半逆解法逆解法就是选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力，然后验证是否满足基本方程。不满足，则求出与之对应的边界上的位移或面力，再与实际边界条件比较。如果相同或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分。这样便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、数值解法等。第三页，共一百七十八页，2022年，8月28日塑性力学问题的提法塑性力学边值问题的提法与弹性力学相同,也必须使定解问题是适用的,即要求满足:(1)有解;(2)解是惟一的;(3)解是稳定的.1).平衡方程对增量理论对全量理论在V内在V内

2).几何方程对增量理论对全量理论在V内在V内第四页，共一百七十八页，2022年，8月28日在V内对全量理论4).边界条件对全量理论对增量理论3).本构方程

对刚塑性材料增量理论在V内对弹塑性材料的增量理论在V内第五页，共一百七十八页，2022年，8月28日第六页，共一百七十八页，2022年，8月28日第六章

弹塑性平面问题第七页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.1平面问题的基本方程6.2应力函数6.3梁的弹性平面弯曲6.4深梁的三角级数解法6.5用极坐标表示的基本方程6.6厚壁筒的弹塑性解6.7半无限平面体问题6.8圆孔孔边应力集中第六章弹塑性平面问题第八页，共一百七十八页，2022年，8月28日任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标的函数。但是，当所考察的从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面(二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如)的函数，由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。第九页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.1平面问题的基本方程第十页，共一百七十八页，2022年，8月28日由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。1.1平衡方程

无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为

(6.1-1)1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有

(6.1-2)由式(6.1-2)可得到平面问题的变形协调方程为

(6.1-3)幻灯片16第十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日1.3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此，由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。

平面应力问题对于平面应力问题，因根据广义虎克定律显然有。因此本构方程为

(6.1-4a)或

(6.1-4b)幻灯片16第十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日平面应变问题对于平面应变问题，有，根据广义虎克定律，必有

和因此，本构关系为或(6.1-5a)(6.1-5b)

第十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的换为，换为就可以得到平面应变问题的本构方程式。平面应力问题的本构方程式平面应变问题的本构方程式第十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日1.4应变协调方程

如果采用应力法求解，还必须将平面问题的应变协调方程(6.1-3)式变换为用应力表示。

平面应力问题的应变协调方程对于平面应力问题，将平衡方程(6.1-1)式中的第一式对x求导，第二式对y求导，有将上式相加后，得因第十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日将平面问题的变形协调方程式用本构关系式代入,得

化简上式，得上式可进一步写为

(6.1-6)如果不计体力或为常体力，则上式可写为

(6.1-7a)或用拉普拉斯算符简写为

(6.1-7b)

用应力表示的应变协调方程，通常称为纳维方程6.1-36.1-4a第十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)平面应变问题的应变协调方程对于平面应变问题，因为平衡方程同样为(6.1-1)式，应力分量、也只是x,y的函数，因此应用由平面应力变换到平面应变的对应关系，则平面应变问题的应变协调方程可直接从(6.1-6)中得到，即

(6.1-8)注意到，当在平面应变问题中，如果不计体力或为常体力时，则(6.1-8)式也简化为(6.1-7)式，这时平面应力问题与平面应变问题的应变协调方程相同。第十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日由以上可见，如果讨论的问题为域上的调和函数，则平面应力和平面应变问题的应力分量，，的分布是相同的，是在区域上直到二阶导数都是连续的连续函数。在这种情况下，平面内应力场一致。也就是说，他们在第十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日1.5边界条件平面内周边上的应力边界条件为

(6.1-9a)对于平面应变问题还有

(6.1-9b)对于平面应力问题．由于方向无外力作用，又所以该方向的边界条件自动满足。从以上的讨论中不难发现，方程(6.1-1)和(6.1-7)以及边界条件(6.1-9)中均不含材料常数。由此得出重要结论：对于全部边界为力边界的无(或常)体力的平面问题，无论什么材料，只要它们的几何条件、载荷条件相同，则不论其为平面应力或平面应变问题，他们在平面内的应力分布规律是相同的。这一结论，给实验模型的设计，尤其是光弹性实验提供了理论基础、并具有很大的灵活性。但需特别注意的是，以上两种情况的应力、应变和位移是不相同的。第十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.2应力函数第二十页，共一百七十八页，2022年，8月28日当边值问题属于第一类，即面力已知问题，则采用应力法求解时,平面问题的弹性解,要求积分平衡方程和应变协调方程,并满足边界条件.其基本方程归结为(1)当体力为常量时

(6.2-1a)(6.2-1b)(6.2-1c)(2)当不计体力时(6.2-2a)(6.2-2b)(6.2-1c)

由数学上可知，方程(6.2-1a)是一组线性非齐次偏微分方程，它的解答应该包含两部分：任意一组特解和齐次方程(6.2-2a)的通解。第二十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日

非齐次方程(6.2-1a)的特解可取为(a)或取为或取为(c)

(b)

等形式。显然，这些特解都满足(6.2-1a)式。对于齐次方程式(6.2-2a)，如果引进一个函数，使得

(6.2-3)则将(6.2-3)式代人齐次方程(6.2-2a)式，可知恒满足。函数称为平面向题的应力函数，是英国天文学家艾里(Airy,G..B)于1862年首先提出的，因此也称它为艾里应力函数。第二十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日

将(6.2-3)式与式(a)式相叠加，就得到(6.2-1a)式的全解为

(6.2-4)为使应力表达式同时满足协调方程、则应力函数还必须满足一定的条件。将(6.2-4)式代入调和方程(6.2-1b)，得第二十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日将展开为(6.2-5a)或采用双调和算子简写为(6.2-5b)将(6.2-4)式代入(6.2-1c)式，得到相应的用应力函数表示的静力边界条件为

(6.2-7)

第二十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日(3)考虑有体力,且体力是有势的,即

其中V为势函数.此时,平衡微分方程变为:比较上面的方程与无体力的平衡微分方程,令

(a)

将方程(a)代如应变协调方程,可以分别的出平面应力和平面应变问题的调和方程.第二十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日平面应力问题:平面应变问题:第二十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日实际上，直接求解弹性力学问题往住是很困难的，因此有时不得不采用逆解法或半逆解怯等来求解。

当用逆解法时，需先假定满足双调和方程(6.2-5)式的某种形式的应力函数,然后用式(6.2-3)或(6.2-4)求出应力分量，，等，可以解什么样的问题。再根据边界条件式(6.2-6)或(6.2-7)来分析所得应力分量对应于什么样的面力。由此判定所选应力函数如用半逆解法则针对所要求的问题，假定部分或全部应力分量为某种形式的双调和函数，并引入足够多的待定参数，从而导出应力函数然后分析所得应力函数是否满足应变协调方程，判断假定的以及由应力函数导出的应力分量是否满足边界条件。如不满足则应重新假定。

应当注意的是，双调和方程是四阶的或低于四阶的多项式都是双调和函数。但必须至少是二次和二次以上，以保证得出非零的应力解。第二十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日第二十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日把问题归结为在给定的边界条件下，求解双调和方程的问题.现在我们转向讨论如何求应力函数首先用多项式逆解法来解一些具有矩形边界并不计体力的平面问题.该解法的基本思路是:分别给出幂次不同并满足方程.然后考察这些应力对应于边界上什么样的面力,从而知道该应力函数能解决什么样的问题.考虑:一次多项式,二次多项式,三次多项式,四次多项式,五次多项式.第二十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日(1)取一次多项式对应的应力分量为这对应于无应力状态,因此,在任何应力函数中增减一个x,y的一次函数,并不会影响应力分量的值.第三十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)取二次多项式不论系数取何值,都满足双调和方程,对应的应力分量为代表均匀应力状态.且如果,则代表双向均匀拉伸;如则代表纯剪.第三十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日(3)取三次多项式不论系数取何值,都满足双调和方程,这里只考虑的情况作为示例,对应的应力分量为:这是矩形截面梁纯弯曲的情况.如果已知作用的矩形窄梁两端的弯矩M,则由第三十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日(4)取四次多项式要使它满足双调和方程,各系数必须要满足一定的关系,代入双调和方程,得于是上述应力函数写成:这时候,式中的四个系数不论取何值,都满足双调和方程.特别的,取则:第三十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日对应的应力分量为这个应力状态由作用于矩形板边界上的以下三部分外力产生:(1)在边界上,受有均匀分布的剪应力;(2)在边界上,受有按抛物线分布的剪应力;(3)在边界上,受有按抛物线分布的剪应力和静力上等效于弯矩的正应力.幻灯片46第三十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日(5)取五次多项式要使它满足双调和方程,各系数必须要满足一定的关系,代入双调和方程,得因为该方程对所有的x,y均成立,故必有于是上述多项式变为:将和用其他的系数表示:第三十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日此时,式中的四个系数不论取何值,均满足双调和方程.特别的,如果则对应的应力分量为:第三十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日在矩形板的边界上,应力分布如图幻灯片61第三十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日第三十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.3梁的弹性平面弯曲第三十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日3.1悬臂梁的弹性平面弯曲在第五章采用材料力学初等理论介绍了梁的弹塑性纯弯曲，这节首先应用应力函数法讨论高为h,宽为b,跨长为l

，如图6.1所示的悬臂粱在自由端受集中力F作用，忽略自重时的平面弯曲.

图6.1悬臂梁第四十页，共一百七十八页，2022年，8月28日对于图示悬臂梁，其边界条件为(a)式(a)所列边界条件表示：悬臂梁自由端没有轴向水平力，顶部和底部没有载荷作用，及自由端的切应力之和应等于F。(a)中第四式的负号是因此处切应力是作用在外法线方向与轴反向的平面内，切应力方向又与轴同向，根据第2章对切应力的正负号约定应为负。第四十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日图6.1悬臂梁1)选择应力函数由材料力学可知，悬臂梁任一截面上由因此，可假定为产生的弯矩随作线性变化，而且截面上任一点的正应力与成比例.

(b)

式中为常数。将(b)式对积分两次，得(c)式(c)中的和为的待定函数。将(c)式代入双调和方程(6.2-5a)可得(d)

幻灯片53第四十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日因和仅为的函数，而上式中左边第二项又与无关，故要使上式成立时，必有对上面两式分别积分，得式中系积分常数。将它们代入式(c)，可得应力函数为

(6.3-1)可得应力分量为(e)

第四十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日2)确定系数根据边界条件式(a)中的第2式，有

上式应对所有的都应成立，因而必有求解此方程组，得(f)第四十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日根据边界条件式(a)中的第3式，并注意到式(e)和(f)，则有由上式可得又依据边界条件式(a)的第4式，可得由上式可得式中为梁截面对中性轴的惯性矩。第四十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日3)应力分量计算所有常数均已确定，于是可得悬臂梁中的各应力分量为(6.3-2)式(6.3-2)的结果与材料力学的结果完全一致。由此可得出结沦：如果自由端部的切力按抛物线分布，

在固定端是按线性分布，则这一解是精确解。如果不是这样，根据圣维南原理，这一解在梁内远离端部的截面仍是足够精确的，其所影响的范围大约只有截面尺寸大小的长度。这主要是这3个系数与应力分量无关。因此，这几个系数确定与否无关紧要。需注意的是，式(6.3-1)中的系数并未求出，由上节已知，第四十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日4)变形计算当应力求得后，变形计算则可根据应变位移几何关系和虎克定律进行。由式(6.3-2)可得(g)

将式(g)中的第1和第2式分别对积分，有

(h)

将式(h)分别对微分，代入式(g)的第3式，并整理后可得第四十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日上式两边分别为与的函数，因此等式左、右两边应等于同一常数，即将上式积分后代入式(h)，可得位移的表达式为

(k)

(i)

(j)

来确定。下面分两种情况进行讨论。式中常数由阻止梁在面内作刚体运动所必需的三个约束条件第四十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日(1)固定端处()的边界条件为：这一边界条件相当于在固端处梁的轴线的切线保持水平，现将该边界条件代入位移表达式(k)，可得即将坐标点的水平微线段固定，这与材料力学的处理方法相同。将这些系数代入式(k)，则位移为(6.3-3)

后不再保持为平面，这与材料力学初等理论所得结果不同。

由该式可知，均是的非线性函数，这说明梁的任一截面变形第四十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日如在固定端()处，由式(6.3-3)可得上式表明，由这种固定条件得到铅垂线元有一绕垂直于平面的轴逆时针方向的转角(图6.2)。梁轴线的铅垂位移由(6.3-3)式可得对于梁自由端()处的挠度，

这与材料力学的结果相同。由式(6.3-3)的第2式可得梁第五十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)固定端处()的边界条件为：这表示固定端断面在()处的铅垂微线元固定不能转动，将该边界条件代入式(k)，可求得这些系数代入式(k)，得到一组与(6.3-3)式不同的梁的位移为(6.3-4)同样可得出在固定端()处的水平线元也有一绕垂直于面平面的轴逆时针方向的转角(如图6.3所示)。

由该式可知，均是的非线性函数.

图6.3固定端转角示意图第五十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日(6.3-4)式可得梁轴的铅垂位移为自由端的挠度度为显然，上式等号右边第二项是剪力对挠度的影响。而这部分与弯曲的影响之比，为第五十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日梁的挠度主要由于弯曲所引起。由此可见，在材料力学中得到的结果，对于细长梁是精确的。但是，必须指出，在高而短的梁中，以及在梁的高频振动和在波的传播问题中，切应力效应是非常重要的。由以上计算变形可见，在材料力学中，只是笼统地说梁端“固定”，没有规定具体的固定方式。在弹性理论中必须规定固定的方式，根据不同的固定方式，得出不同的位移公式。如，则此比值为。所以当时，第五十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日方法二:选择应力函数采用半逆解法求解：逐步凑取幂次不同的双调和多项式函数直到由此求得的应力分量满足问题的边界条件为止.考察四次多项式.情况大致与本题是一致的．在端面上，处，外力分布幻灯片38比本问题多出了剪应力在上下界面上，处，为了抵消这部分剪应力，试在应力函数式上叠加一个与纯剪对应的应力函数幻灯片41第五十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日第五十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日3.2简支梁的弹性平面弯曲现分析如图6.4所示受均布载荷作用，不计体力的两端简支梁。

q

图6.4受均布荷重简支梁第五十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日1)选择应力函数设应力函数为

(a)(a)式满足双调和方程。2)利用边界条件确定常数幻灯片41q边界条件为和根据应力分量及边界条件式可得

(b)

(c)第五十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日(d)

由此可解得系数为(e)将(e)式代入(a)式(f)得应力函数第五十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日3)应力分量计算将式(f)代入式(6.2-3)，并注意梁的截面惯性矩，求得应力分量为

(g)将式(g)的应力分量与材料力学对该问题的解答相比，可以看出：幻灯片63第五十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日上式括号中的第一项为主要应力，第二项反映修正应力。一般认为当时，材料力学公式不再适用。(1)(g)中的表达式包括两项，第一项与材料力学解答相同，而第二项与无关，是对材料力学解答的修正。且当时，梁的端面有正应力，但端面上没有水平外力，所以的条件，但未能消除两端的正应力。然而这组附加的水平力，即修正项显然也构成平衡力系。根据圣维南原理，这组附加力的效应是局部的，在远离两端部分可认为材料力学的公式是精确的。因此，通常认为长而低的细长粱此项可忽略不计，但对高梁，即短粗梁这项有显著影响。如梁中间截面处的最大值为

的表达式只满足了两端弯矩为零第六十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)材料力学对该问题剪应力的解答与本精确解完全吻合。，

图6.5简支梁截面应力分布示意图但本解答表明，除梁截面的下表面处外，其余部位无关，因此整个梁的纵向纤维之间均存在挤压力。梁中应力分布如图6.5所示。(3)材料力学假设梁的纵向纤维之间互不挤压力，因此且与第六十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日4)位移计算而垂向位移为，经积分后可得对于位移计算，其方法和步骤与悬臂梁的位移计算相同，即利用本构方程和几何方程，并假定梁中间截面的形心的水平位移等于零，

(h)

由上面的位移表达式可以得出三点结论.第六十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日(1)由位移的表达式可知，梁的中性层并不在梁截面的中间层。在中间层处有水平位移(k)由式(g)知，当时，，因此沿方向引起拉伸应变将上式积分，并注意当时，，则得式(k)。幻灯片59第六十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)由位移可得梁轴线()的挠曲线方程为(m)假设在梁中心轴线的两端()处，垂向位移，则得上式右端括弧中的第一项所反映的挠度与材料力学根据平面假设而得出的结果相一致，括弧中的第二项反映剪应力的影响。第六十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日(3)将式(m)对求二阶导致，得挠曲线的曲率方程式由该式可知，曲率并不与成正比，方括号半的第二项是对的修正。材料力学近似曲率公式必须指出的是，应用式(g)也能解答梁两端固定的问题，为此，须取适当的支座反力矩，并使粱的二端都满足或的条件。应注意，用多项式求解仅对低粱适用，对于高梁，两端的平衡力系要影响到跨度中部的应力。因此，须用其他形式的应力函数，例如三角级数的形式。第六十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日q

图6.4受均布荷重简支梁考虑用另外一种方法得到应力函数.材料力学中认为为零.这个不会满足弹性力学的全部方程,在梁的上表面，有按照材料力学方法求解,得到如下应力(a)第六十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日因此,要求应力满足弹性力学方程,将应力表达式(a)写成更普遍的形式:于是有(b)由(b)的第一式积分,得这里的和均为x的任意函数.将(c)代入式(b)的第二式,则有(c)这里的E为积分常数.代入式(c)后,得到(d)第六十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日将这个应力函数代入双调和方程,发现不满足,这说明它不能取做应力函数.(d)现在在这个函数的基础上添加一个任意函数,并略去不影响应力的一次项Ey,于是有(e)以满足双调和方程为目标来选择函数.将式(e)代入双调和方程,得到所必须满足的方程.(这里假设最多是x的三次函数.)(f)第六十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日这个方程最简单的解为(g)将(g)代入(f)得到:(h)可以取掉式(h)变成:最后得到应力函数为:应力分量为:(i)第六十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日考虑边界条件:(1)上下两面:将边界条件应用到式(i)上,有:(j)(k)由(k)式可以看出,要使它们恒成立,只有第七十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)端面容易验证第二个条件已经满足.但第一个条件无法满足,因此,利用局部性原理,将边界条件放松,即已经满足第七十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日得:应力分量为:比较第一种方法的结果第七十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日第七十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日3.3悬臂梁受均匀分布载荷作用不计自重的悬臂梁受到均匀分布的载荷作用,也可以采用多项式的叠加求解,现考虑另外一种方法.qOLyxyh/21h/2zO幻灯片78第七十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日弯曲应力主要由弯矩产生的,剪应力主要是由剪力Q产生的,而挤压应力主要由载荷q产生的,现因q为常数,所以,可以假定,对于不同的的分布相同,也就是说,仅仅是y的函数,即于是有:而这里的和是y的任意函数.这个应力函数必须满足双调和方程,所以,代入双调和方程后,得(a)第七十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日函数,和必须满足这是x的二次方程,但是它有无穷个根(梁内所有的x都满足它),因此,方程的系数和自由项应该等于零,即根据前面两个方程,有根据第三个方程,有积分该式(b)第七十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日(c)将式(b),(c)代入应力函数(a),得因此得到应力分量为这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程.(d)第七十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日边界条件为:(f)(e)(g)根据边界条件(g)的第三式可得根据边界条件(e)和(f)可得将系数代入应力分量得幻灯片74第七十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日再由边界条件(g)的前面两式可得代入应力分量,且有可得第七十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日这个应力表达式和材料力学结果比较,可以发现剪应力与材料力学一样,正应力增加了一个修正项:第八十页，共一百七十八页，2022年，8月28日第八十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.4深梁的三角级数解法第八十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日前面一节是用代数多项式为应力函数求解弹性梁平面问题，对于一端受集中力悬臂梁的弯曲，用三次多项式为应力函数；对于受连续均布载荷的单跨粱，用五次多项式。增高多项式的幂次，可以求解受载荷更复杂的问题。

但是整多项式只限于求解梁上载荷的分布是连续的，而且分布规律能用代数整函数表示的一些简单问题。如果载荷分布不是连续的，而且分布规律不能用代数整函数表示(图6.6)，则可以用三角级数求解这类问题。载荷函数可展开为三角级数，应力函数也可以用三角级数表示。

图6.6受非连续分布载荷深梁示意图第八十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日4.1应力函数的三角级数表达对于图6.6所示梁，取应力函数为

(a)

式中，是任意整数。将式(a)代入双调和方程(6.2-5a)，得常微分方程(b)

该常系数线性微分方程的通解为将(c)式代入(a)式，得应力函数(c)

(d)

第八十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日当不计体力时，由相应的应力分量为(6.4-1)

由于为任意整数，因此可得无穷多个函数，又因双调和方程是线性的，之和也是双调和方程(6.2-5a)的解，即所以无穷多个函数(6.4-2a)

第八十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日不难证明，如取应力函数为(6.4-2b)

也能满足双调和函数。因此，式(6.4-2a)和(6.4-2b)之和也能满足双调和函数，所以应力函数可表示为如下级数形式(6.4-2c)式(6.4-2c)中的系数

和需根据边界条件确定。

第八十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日4.2载荷函数这时应力边界条件必须展开为无穷级数的形式(6.4-3)

由数学分析知，将一函数在区域[]展开成富里叶(Fourier)级数(6.4-3)时，其系数(称作富里叶系数)为(6.4-4)

如果在梁的[]边界上作用有均布载荷，则富里叶系数为第八十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日(6.4-5)

这样，对于该边界(包括上下边界)有

(6.4-6)

第八十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日hyx2ql2ql2lqo研究有足够多跨的连续墙梁的弹性分析.所谓墙梁是指高度与跨度相近的一类墙板结构.载荷的作用只在板面以内,墙梁是深梁的一种.

墙梁的支座往往是一系列的柱,将其反力简化为集中力.考虑用三角级数的应力函数来分析.

第八十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日(1)选取应力函数因为正弦函数项是反对称函数，而应对y轴为对称,故应力函数应取只包含余弦函数项的级数.此外为了满足边界条件,补充二次多项式,于是应力函数取:此外为常数.由于具有周期性,故研究一跨梁足够.

第九十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)计算应力分量剪应力分量应为反对称,故应有

第九十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日(3)写出边界条件与平衡方程(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

对任意竖向截面有第九十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日(4)确定常数,求应力分布规律将应力代入上面的边界条件有由于

第九十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日(5)求位移分量积分可得各位移分量

应力分布图

第九十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日第九十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日例6.1设一简支梁的中部上、下两表面，在范围内对称地作用均布载荷.(如图6.7所示)。如此梁的厚度为1个单位，不计体力，试求其应力分量。图6.7局部受均布载荷简支粱

第九十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日解：首先将载荷展开为富里叶级数，最普遍的情况下，上部边界()和下部边界()的载荷分别表示为(1)

注意载荷实际作用区域为(2)

式中表示整个梁的均匀分布载荷，式(e)中的全部系数均可用富里叶系数的公式求出。第九十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日由图6.7可知，所示载荷对称于轴，是的偶函数，故式(d)的展开式只含及余弦项，其中(3)

而系数可由载荷展开式运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以，并在区间积分，有由此可得由于为任意整数，所以可换成，于是得同理也可得。

(4)

第九十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日将代入上式可得

(5)

由于常数的存在，该问题可理解为上、下分别作用均布载荷，再加上后面的三角级数所表示的载荷。

于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。对于上、下面作用均布压缩载荷，相应的应力分量为(6)

而

，这些载荷所产生的应力分量，可依据应力函数表达式求得，即第九十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日(7)

式中，各个常数可由边界条件确定(参见式(4))，即(8)

将式(8)中的代入式(7)，并注意到双曲函数的关系式第一百页，共一百七十八页，2022年，8月28日，则可得(9)

所以式(7)中的常数可全部确定，将式(9)代入式(7)，即得相应的应力分量，再加上式中由均布载荷而产生的应力，即得梁总的应力分量计算式。如的表达式为第一百零一页，共一百七十八页，2022年，8月28日如果在该梁上的分布载荷作用范围不断缩小，即随着这短段的缩小达到极限情况，就得到梁受两个相向集中压力的情形，这种情况下的应力沿方向的分布曲线如图b所这一计算实例，可以说明圣维南原理对此也是是正确的。随示，由该图可见，的增大而迅速衰减。第一百零二页，共一百七十八页，2022年，8月28日第一百零三页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.5用极坐标表示的基本方程第一百零四页，共一百七十八页，2022年，8月28日对于圆形或部分圆形(扇形，楔形等)的物体，用极坐标求解比较方便。在极坐标系中，平面内任一点的位置，用径向坐标

及周向坐标

来表示(如图6.9)。极坐标系

与直角坐标系

之间的关系为(6.5-1a)

(6.5-1b)

下面推导极坐标平面问题的基本微分方程。

第一百零五页，共一百七十八页，2022年，8月28日5.1平衡方程在变形物体中，用两个同心柱面和两个径向平面截割出—微小单元体(见图6.10)。设单元体厚度为1个单位。沿径向正应力，用表示；沿切向正应力，用表示；方向的正应力称为方向的正应力称为周向正应力或图6.10微元应力分量

第一百零六页，共一百七十八页，2022年，8月28日剪应力用及表示。根据剪应力互等定律，各应力分量的正负号规定和直角坐标系中相同，只是方向对应方向、方向对应的体力分量分别用及表示。方向。图中的应力分量都是正值。径向和周向将单元体所受的力投影到通过其中心的径向轴上，可建立出单元体径向平衡方程为第一百零七页，共一百七十八页，2022年，8月28日在上式中，因为是小量，因此可取，并略去高阶微量后可得第一百零八页，共一百七十八页，2022年，8月28日采用同样的方法，可以列出单元体在周向的平衡方程。则可得极坐标系下的平衡方程为(6.5-2)

第一百零九页，共一百七十八页，2022年，8月28日类似的还可写出柱坐标系()下和球坐标系()下的平衡方程。

(1)柱坐标系下的平衡微分方方程(6.5-3)

(2)球坐标系下的平衡微分方方程

(6.5-4)

第一百一十页，共一百七十八页，2022年，8月28日5.2几何方程极坐标系下的几何方程，在第三章中巳导出，即(6.5-5)

5.3本构关系极坐标系和直角坐标系都是正交坐标系，因此，在弹性状态下，极坐标下的本构方程与直角坐标具有同样的形式。只要将下标分别改写为即可。考虑平面应力问题和平面应力问题幻灯片124参看(Page117)第一百一十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日对于平面应力问题

对于平面应变问题

(6.5-6)

(6.5-7)

第一百一十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日5.4应变协调方程采用类似推导直角坐标系应变协调方程的方法，不难从式(6.5-5)消除位移分量，得出以应变分量表示的极坐标中的应变协调方程，即在直角坐标系中，当体力为常量或不计体力时，平面问题的协调方程式为注意到(为不变量)，这样在极坐标系中，平面问题应力形式的协调方程式为(6.5-9)

式中为极坐标下的拉普拉斯算子，即(6.5-10)

第一百一十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日为了得到在极坐标系中，用应力函数表示的应变协调方程，可直接由直角坐标系应变协调方程经坐标变换得到。因为:第一百一十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日注意，此处的应力函数既是和的函数，通过坐标变换，也是和的函数，它对和的一阶及二阶导数分别为第一百一十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日(a)将式(a)相加后得幻灯片119第一百一十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日于是得极坐标系下的应变协调方程为(6.5-11)

幻灯片121第一百一十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日5.5应力分量极坐标系下的应力分量的表达式，也可由坐标转换的方法求得。由图6.10可见，当把ox轴和oy轴分别转到和的方向，此时，则应力分量分别成为第一百一十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日于是，不计体力时，可由式(a)得到极坐标系中的应力分量表达式为(6.5-12)

容易证明，当体力不计时，这些应力分量满足平衡微分方程(6.5-2)式。由以上可知，当体力可以不计时，用极坐标求解平面问题，只须从应变方程(6.5-11)解出应力函数并使其满足位移边界条件和应力边界条件

，然后由式(6.5-12)求出应力分量，幻灯片116幻灯片167第一百一十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日5.6轴对称问题

如果所研究的问题的物体和外载荷均对称于经过物体中心，且垂直于平面的轴线，此时，应力和位移均与无关，仅与有关，这类问题称为轴对称问题。因此，轴对称问题只有正应力和，而剪应力因对称性均为零。

(1)应力函数与应力分量(2)轴对称问题的位移第一百二十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(1)应力函数与应力分量将上式展开，并注意到仅是的函数，因此偏于数可用常导数代替，得(b)

应力表达式(6.5-12)成为(6.5-13)

根据轴对称问题的情况，应力函数也应与元关，所以式(6.5-11)可简化为

q幻灯片117幻灯片123第一百二十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日方程式(a)是变系数常微分方程，如令，则，根据复合求导法则，则这方程可简化为常系数常微分方程，即上述方程的解为将代入上式可得第一百二十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日(6.5-14)

由式，得应力分量的表达式对于平面物体，则在平面内必为各方向均匀受拉或均匀受压状态。如果原点处有孔，则问题有各种解答，这将在以后讨论。由上式可知，如在坐标原点没有孔，常数和必须等于零，否则当时应力将变为无限大。因此，如在坐标原点没有孔，而且没有体积和力，唯一可能的应力对称分布是均为常数。(6.5-13)幻灯片131幻灯片132第一百二十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日(2)轴对称问题的位移当沿

方向没有约束时，则属平面应力问题。此时，将应力分量式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式，得(6.5-5)(c)

对上式中的第一式直接积分可得(d)再由式(c)的第二式解出，并将(d)式代入后，有积分左式，得第一百二十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日(e)将式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分离变量，则可得此方程左边为的函数，而右边为的函数，因此两边必为同一常数，于有是(f)

式(f)中的第一式经简单分析可得其通解为(g)

将式(f)中的第二式先对求导一次，然后再积分求得(h)于是由式(f)的第二式和式(h)，可得(i)

第一百二十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日将式(g)、(h)、(i)均代入和的表达式(e)和(d)中，则得(6.5-15)

式中

可由应力边界条件和位移边界条件确定。在应力轴对称时，如果约束条件也是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。即各点无环向位移()，即，仅有径向位移(6.5-16)

对于平面应变问题，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也适用，仅需将式中的和分别用和即可。幻灯片131第一百二十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日极坐标系下的双调和方程为有了基本方程,可以按下列步骤求解边值问题:(1)确定体力和面力;(2)确定边界条件:(3)选择解题方法;(4)解方程;(5)校核(代回基本方程和边界条件)).第一百二十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.6厚壁筒的弹塑性解第一百二十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日工程上一般把圆筒分为厚壁筒和薄壁筒。当外径与内径之比小于时可按薄壁圆筒进行分析，当大于1.2时则按厚壁圆筒进行分析。厚壁圆筒是弹塑性力学问题中最简单的问题之一，即应力和应变只与一个坐标有关，而且在塑性阶段考虑材料的不可压缩性后，可以得到封闭形式的解答，本节讨论的受内外压力作用的厚壁圆筒，属于这类问题。此外还有整球形容器等。第一百二十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.1弹性解设图6.11所示厚壁圆筒为理想弹塑性材料，外径为2b，内径为2a，受到内压为，外压为作用。并设圆筒的长度比圆筒的直径足够大，以致可以认为离两端足够远处的应力和应变分布沿筒长方向没有差异。

第一百三十页，共一百七十八页，2022年，8月28日(a)将式(a)代入(6.5-14)式，显然后两个条件自然满足，而由前两式可得(b)

(c)

任一横截面变形后仍保持平曲(如图)。因而，应力与应变的分布对称于圆筒的中心轴线。显然这是一轴对称问题，则应力即为式。式中的三个常数由边界条件确定，即(6.5-14)式(b)两个方程不能决定三个常数

，补充的条件应从位移方面去找，现从环向位移的表达式中的第二式(6.5-15)第一百三十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日(c)

其中一项是多值的，但环向位移应是单值的，即要求。于是可知，必有，从而由(b)式可得(d)

(6.6-1)幻灯片134将(d)式代入式和式第一式，则得正应力分量和位移为(6.5-14)(6.5-15)第一百三十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日如果厚壁圆筒两端自由，则，而任何横截面变形时保持为平面，因此这个问题属平面应力问题，

由上式可见，厚壁圆筒内任何一点的应力和之和为常值。常数，其位移由(6.5-16)式确定。

当，即在筒内边缘，由(6.6-1)式，有(6.6-2)第一百三十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日(6.6-3)

当，即在筒外边缘，由式，有(6.6-1)(6.6-4)由式(6.6-4)可见，因

，所以周向受拉，径向受压，应力分布如图6.12所示。当厚壁圆筒仅受内压，此时因，所以式简化为(6.6-1)第一百三十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日图6.12受内压厚壁圆筒的应力分布第一百三十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日根据特雷斯卡屈服条件，由(6.6-4)式可得内壁()处，

为，可求得弹性极限内压力)达到最大值时，即((6.6-5)

显然，当时，由此可知，在无限空间物体内圆柱形孔洞受内压时(如压力隧道)，其壁表面开始屈服时的压力值与孔径无关。如果采用米泽斯屈服条件式，注意到当两端全自由时，因,和由广义虎克定律有，则可得筒内边缘()开始屈服时，有第一百三十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日(6.6-6a)如取，则上式成为(6.6-6b)

即按米泽斯屈服条件，弹性极限载荷为(6.6-7)

按照特雷斯卡屈服条件第一百三十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.2弹塑性解由上面的分析可知，在厚壁圆筒无外侧压力()的情况下，当，处于弹性状态，而当且随着压力的的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。由于应力组合()的轴对性，塑性区与弹性区的分界面应为圆柱面。

时，在内壁出现塑性区，筒体处于弹塑性状态时，设筒体中弹塑性分界面半径为。为塑性区，如图6.13所示，即当图6.13弹性与塑性区域分界为弹性区。而当第一百三十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日由于在塑性区内平衡方程仍然成立，当不计体力时，且因对称性，平衡方程式简化为采用屈雷斯加屈服条件，并代入上式可得(e)

积分其中C为待定常数，由筒壁内边缘处的边界条件，

可得

,代入(e)式后，得(f)

当时，并记此处的径向应力为，则由上式可得

(g)第一百三十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日这样问题可化为内半径为()的圆筒受压力作用的弹性问题。

于是，由式(6.6-5)有对于外层弹性区域来说，就是作用在该区域内侧的径向压力，因在处必须连续，故可由上式及(g)式消除，可得

(6.6-8)

第一百四十页，共一百七十八页，2022年，8月28日上式即为弹塑性交界面处应满足的方程，该式为超越方程，当给定时，可用数值方法求得值。

综上所述，塑性区()的应力分量为

(6.6-9)

由式(6.6-9)的导出可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压有关，与弹性区的应力无关。而且在塑性区内，。第一百四十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日以上结果说明，塑性区的应力分量和

的确定没有使用变形条件和本构关系，而直接由平衡方程和屈服条件获得。这种问题在塑性力学中称为静定问题。静定问题的特点是平衡方程和屈服条件的数目与所求未知量的数目相等，因而不使用塑性力学中的非线性本构方程便能求出所求的未知量。在求解这类问题时，一般都采用理想弹塑性力学模型进行计算。这类问题不但求解简便，而且在工程实际中也经常遇到，因此很有实际应用价值。

第一百四十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日当塑性区的前沿一直扩展到圆筒的最外边缘时，整个厚壁圆筒将全部处于塑性状态，称这种状态为全塑性状态，或极限状态。在极限状态前，因外侧弹性区的约束，圆筒内塑性区的变形只能与弹性变形同数量级。当达到极限状态时，上述这种约束解除，圆筒将开始产生较大的塑性变形，这种状态称为无约束塑性流动。极限状态前，可认为圆筒能正常工作，进入极限状态后认为丧失正常工作的能力。所以极限状态是一种临界状态，与之相应的外力称为极限载荷，并记为，由式(6.6-8)可得(6.6-10)

以上是根据特雷斯卡屈服条件得到的，当采用米泽斯屈服条件时，则只要将以上有关式中的用替代即可。

第一百四十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日第一百四十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.7半无限平面体问题第一百四十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日地表面受带状载荷作用的问题,可以化为弹性半平面受垂直载荷作用的问题.此外,大尺寸薄板边界受作用于板的中面,切平行于板面的外力作用时也是这类问题.不过前者为平面应变问题,后者为平面应力问题.我们按照平面应力问题来讨论,对于平面应变问题,应力分量仍然适用,位移与应变部分只要更换一下弹性常数.第一百四十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日1.楔形尖顶承受集中载荷考虑图示的三角形截面的长柱体在顶端受载荷(单位长度上受到力为F)作用时的应力分布.因此,各应力分量中,r只能出现负一次幂.也就是说,应力函数中r的幂次要比各应力分量中r的幂次高两次.假设应力函数为:采用量纲分析来确定这个问题应力函数的形式.首先,尖劈内任何一点的应力应正比例与力F的大小,并与量相关联.由于F的量纲为[力]/[长度],r的量纲为[长度],无量纲,因此,各个应力分量表达式只能取的形式,这里的N为组成的无量纲的数量.代入极坐标形式的双调和方程,得Fyxoaa(a)

第一百四十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日整理得:令解得:Ax+By因此,应力分量为:(b)

第一百四十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日本问题的边界条件:显然这个条件已经满足.为了求得常数C和D,我们考虑尖劈在任一圆柱面以上部分的平衡.由平衡条件(c)

幻灯片150第一百四十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日考虑任一圆柱面上的平衡:Fyxoaa将代入,积分得应力分量代入,得到本问题的解答应力分量第一百五十页，共一百七十八页，2022年，8月28日如果取,则得到如图的受力情况,应力对称于x轴分布;如,这时,应力反对称于x轴分布.FyxoaaFyxoaa第一百五十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日如果尖端受到集中力偶作用,设单位厚度内的力偶矩为M,则通过量纲分析可知,各应力分量中只能出现r的负二次幂,而应力函数应该与r无关,即Myxo代入极坐标表示的双调和方程,得到函数f所满足的方程.求出其通解,再求出应力分量,最后利用边界条件和平衡方程定出常数,可以得到最终解答:第一百五十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日2.集中载荷如令,则得到在弹性半平面边界上有集中载荷作用的问题的解答.hFryxo讨论该应力场的特征.第一百五十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日hFryxo讨论该应力场的特征:(3):主应力轨迹为一组同心圆和以O为中心的放射线.(4):最大剪应力轨迹为一组与主应力轨迹成45度的两组曲线.最大剪应力轨迹为对数螺线.(1):为主应力,大小随着角度变化.(2):在直径为h,圆心在Ox轴且相切于O点的圆上,任一点都有,所以正应力均为:第一百五十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日3.位移计算将广义胡克定律代入应变位移关系式得到积分,得代入代入第一百五十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日简化得到可以得到两个方程下面考虑边界条件第一百五十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日AOFhxyu=0v=0r(1)沿x轴,r为任意值时均有(2)在图中A点有因此,得到各点位移分量为:第一百五十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日因此,自由边界处的位移v为:此处,v以沿正方向为正.BhrsyxMOF与实际情况不符合,因此取自由边界上一点B作为基点,任意点M

对该点的相对位移

为:发现,当时,得位移v为:对平面应变问题,只要替换系数就可以了.第一百五十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日3.半无限平面体边界上受分布载荷yabr用叠加原理推广到自由边有多个集中力及分布载荷作用的情况,设在自由边有分布载荷作用,则于是有：代替应力式中的F,第一百五十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日可以得到qdy

作用下各点的应力．如载荷从a均匀分布到b,则任一点的应力由下列公式确定：最大剪应力为：如令，则主应力为：时最大剪应力达到极值．第一百六十页，共一百七十八页，2022年，8月28日上面为弹性解．如果外载荷不断增加，则必将在载荷达到某一数值时，在介质中的某一点处，开始出现塑性区．材料的屈服首先在a,b两点发生．因为a,b两点可能因应力集中产生很大的应力而导致屈服．第一百六十一页，共一百七十八页，2022年，8月28日6.8圆孔孔边应力集中第一百六十二页，共一百七十八页，2022年，8月28日从上节的分析中已经知道，当受载物体中有孔时，孔边比其它部位产生较大的应力。孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔边较远处的应力，这种力学现象称为应力集中。孔边应力集中是局部现象，在距孔径几倍远处，应力的分