第二章测量数据处理

第二章测量数据处理

测量数据处理:对测量所获得的数据进行深入分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系;有时还需要用数学解析的方法，推导出各变量之间的函数关系。只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真，从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用信息。2.1误差分类2.2粗大误差的判别和剔除2.3系统误差的发现和修正2.4近似数的修约与运算2.5数据的图形表示2.6最小二乘法与实验曲线拟合本章内容测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被测量的真实值都无法得到。数据处理:希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。§2.1误差分类测量误差及其表示方法

测量结果与被测量真值之差称为测量误差。测量误差可以用以下几种方法表示。1．绝对误差绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值，即：§2.1误差分类x0:真值;x:测量值2．相对误差相对误差:绝对误差与真值之比的百分数，即§2.1误差的分类

为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规律性将其分为三类：即粗大误差；随机误差；系统误差。一.粗大误差的概念

明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差。粗大误差一般是测量环境的重大变化、由于操作人员粗心大意、操作不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验等造成的。如读错、测错、记错数值、使用有缺陷的测量仪表等。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，所有的坏值在数据处理时应剔除。

§2.2粗大误差的判定与剔除

二.粗大误差的判定

直观判断，直接剔除。增加测量次数，观察结果。根据概率统计特性进行判断。§2.2粗大误差的判定与剔除

1）拉依达准则（3s准则）在正态分布中，误差（残差）的绝对值大于3的概率为0.0027，为小概率事件。故：则判定存在粗大误差，应予以剔除。注意点：测量次数n尽可能多。原因：当n过小时，把正常值当成异常值。三.粗大误差的剔除准则

2.格罗布斯(Grubbs)准则三.粗大误差的剔除准则

假设测量值x1，x2，……,xn.其均值、，残差vi、标准差s已知。2）格拉布斯准则

2.格罗布斯(Grubbs)准则为格拉布斯准则判别系数，可以查表来得到。三.粗大误差的剔除准则

将数据排序，统计量当，则认为是异常值，予以剔除2）格拉布斯准则

2.格罗布斯(Grubbs)准则的另一种方式当测量数据中，某数据xi

的残差满足则该测量数据含有粗大误差，应予以剔除。三.粗大误差的剔除准则

2）格拉布斯准则另一种形式

3.t检验准则三.粗大误差的剔除准则

统计不包含统计量xd的平均值根据要求的显著性水平a以及测量次数n，求t检验系数K假设测量值x1，x2，……,xn.假设xd为怀疑对象。标准差如果：则认为是异常值，需要剔除。3）t检验准则

三.粗大误差的剔除准则

拉依达准则：使用方便；格拉布斯准则：适用于观测次数30<n<50；t检验：适用于观测次数较少的情况。

an0.010.05an0.010.0531.151.15172.782.4841.491.46182.822.5051.751.67192.852.5361.941.82202.882.5672.101.94212.912.5882.222.03222.942.6092.232.11232.962.62102.412.18242.992.64112.482.23253.012.66122.552.28303.102.74132.612.33353.182.81142.662.37403.242.87152.702.41503.342.96162.752.441003.593.17格罗布斯(Grubbs)准则鉴别值数值表判定测量数据是否存在粗大误差的步骤：1、根据读数确定平均值，作为真值；2、确定残差或绝对误差3、确定标准差；4、根据拉依达准则、格罗布斯准则、t检验准则判定粗大误差5、剔除粗大误差6、重复以上，直到没有粗大误差。例题：对某个物理量进行15次重复测量，数据如下：20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40.判断测量数据是否含有粗大误差？解(1)采用拉依达准则判定残差v根据拉依达准则，可以发现，第8个数据的残差0.104大于0.099，该组数据中含有粗大误差。*解(2)采用格罗布斯准则判定测量次数：n=15假设显著性水平：a=0.01查表：g(0.01,15)=2.70根据格罗布斯(Grubbs)准则计算：可以发现，第8个数据的残差0.104大于0.0891，可见，第8个数据20.30为可疑数据，其产生的误差为粗大误差。故剔除第8个数据20.30，重新判断。对剩余的14个数据重新计算，通过格罗布斯准则判定，都没有粗大误差存在。在相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差，简称系差。系统误差可分为定值系统误差(简称定值系差)和变值系统误差(简称变值系差)。数值和符号都保持不变的系统误差称为定值系差。数值和符号均按照一定规律性变化的系统误差称为变值系差。§2.3系统误差的发现与修正

变值系差按其变化规律可分为：线性系统误差；测量误差随某种因素线性变化；周期性系统误差；测量误差随某种因素线性变化；复杂规律变化的系统误差。误差受多种因素的影响。§2.3系统误差的发现与修正

系统误差示意图其中1为定值系差，2为线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。§2.3系统误差的发现与修正

2.3恒定系统误差的发现实验对比检验法改变产生系统误差的条件，在不同条件下进行测量，对结果进行比较找出恒定系统误差.

2.3变值系统误差的发现1)观察法通过观察测量数据的各个残差大小和符号的变化规律来判断有无变值系统误差。这些判断准则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布。2）残差统计法常用的有马利科夫准则，阿贝-赫梅特准则等。3)马利科夫准则（和检验）马利科夫准则适用于发现线性系统误差。设对按测量先后顺序得到X1,X2…Xi,…,Xn等数值。令这些数值的算术平均值为相应的残差为：将前面一半以及后面一半数据的残差分别求和，然后取其差值，有若M近似为零，则说明上述测量列中不含线性系统误差；若M与Vi相当或更大，则说明测量列中存在线性系统误差。

4)阿贝-赫梅特准则（序差检验法）若存在成立(为测量数据序列的方差)，则认为测量序列中含有周期性系统误差。阿贝-赫梅特准则用于发现周期性系统误差。一组测量值,按顺序排列，并求出相应的残差。然后计算

4)组间数据检验正态检验法方法：用不同的方法计算标准差，通过比较以发现系统误差。对于两种不同方法计算得出的均值和标准差，如果有：成立，则认为测量序列中有系统误差存在。目的：用于不同测量组之间的系统误差分析

四.减小系统误差的方法

分析和研究系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。常用的消除系统误差的方法：1.消除系统误差产生的根源为减小系统误差的影响，应该从测试系统的设计时入手。选用合适的测量方法以避免方法误差；选择最佳的测量仪表与合理的装配工艺，以减小工具误差；应选择合适的测量环境以减小环境误差。此外，还需定期的检查、维修和校正测量仪器以保证测量的精度。

四.减小系统误差的方法

2.引入更正值法该方法主要用于消除定值系统误差。在测量之前，通过对测量仪表进行校准，可以得到更正值，将更正值加入测量值中，即得到被测量的真值。更正值是与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。更正值给出的方式不一定是具体的数值，也可以是一条曲线、公式或数表。

3.采用特殊测量方法消除系统误差

1)标准量替代法替代法主要用于消除定值系统误差，其操作方法为用可调的标准量具取代被测量x

接入测量仪表，通过调节标准量具A的值使测量仪表的示值与被测量接入时相同，于是有x=A。

这种方法是指当测量仪表内部存在固定方向的误差因素时，将测量中的某些条件(如被测物的位置或被测量的极性等)相互交换，使产生系差的原因对先后两次测量结果起反作用，将这两次测量结果加以适当的数学处理(通常取其算术平均值或几何平均值)，即可消除系统误差。

例如，以等臂天平测量质量时，由于天平左右两臂长的微小差别，会引起测量的定值系统误差。如果将被称物与砝码在天平左右两盘上分别各称量一次，取两次测量平均值作为被称物的质量，这时测量结果中就不含有因天平不等臂引起的系统误差。

2)交换法

4对称测量法对称测量法用于消除线性系统误差。由于线性系统误差按照如图所示的斜线规律变化，其特点为对称于中点t3的各系统误差的算术平均值彼此相等，即有利用上述关系，将测量对称安排，取两次对称测量值的平均值作为测量结果即消除系统误差。在许多精密测量场合，均可采用等时距对称观测法消除变值系差。

线性系统误差

半周期观测法用于消除周期性的系统误差。设周期性系统误差的变化规律为式中θ——决定周期性误差的自变量；T——周期性系统误差的变化周期。在某一时刻，如，周期性误差为经过半个周期后，，周期性误差为可知，如果在某处测得一个数据后，在与该点相隔半个周期处再测量一个数据，取两次测量的平均值作为测量结果，即可消除周期性系统误差。5半周期偶数测量法1.近似数的修约§2.4近似数的修约与运算

A修约间隔修约间隔：确保修约的保留位数。修约间隔的量值：10m。m为整数。例：10-2。表示数值修约到小数点后2位；100。表示数值修约到小数点个位；103。表示数值修约到小数点千位。1.近似数的修约§2.4近似数的修约与运算

B修约规则“四舍五入”规则的修正。规则如下：（1）舍去部分的数值大于保留末位的1/2,则末位加1；（2）舍去部分的数值小于保留末位的1/2,则末位不变；（3）舍去部分的数值等于保留末位的1/2,若末位是偶数，则末位不变，否则末位加1.例：3.130；3.13495；3.135；3.1450；3.135001.保留两位小数，进行修约。1.近似数的修约§2.4近似数的修约与运算

C舍入误差若a为待修约数，b为修约后的近似数，则舍入误差为：根据修约规则,例：a=3.1346,m=-2。求近似数b=3.13的舍入误差。1.近似数的修约§2.4近似数的修约与运算

D0.5单位修约和0.2单位修约规则如下：（1）先将待修约数乘以C（0.5单位修约时，C=2；0.2单位修约时，C=5）；（2）按修约规则修约；（3）再除以C.例：将20.425按照0.2、0.05间隔修约。解：2.有效数字§2.4近似数的修约与运算

有效数字：修约后得到的近似值从左边第一个不为零的数字起到末位所有数字的位数。科学计数法：例：表示几位有效数字。3.近似数运算§2.4近似数的修约与运算

a.加减运算。规则：按小数位数较少的近似数多保留一位。例：求0.1082与168.1的和。解：3.近似数运算§2.4近似数的修约与运算

b.乘除运算。规则：有效数字较多的乘数（除数）只需比有效位数较少的多一位。结果保留位数只需与有效数字较少的那个相同。例：求1.3462与0.0026的积。解：3.近似数运算§2.4近似数的修约与运算

c.乘方与开方运算。规则：乘方运算：直接相乘，有效位数不变。开方运算：直接相除，有效位数不变。例：求5.32的平方值。解：1.图形表示的规则§2.5数据的图形表示图形表示数据具有直观、明了的优点。规则：坐标轴标注清晰。数据点符号要说明。不同的数据曲线用不同的线形。图形需要标题。2.坐标系选取和曲线绘制§2.5数据的图形表示坐标系：线性坐标系。半对数坐标系。对数坐标系。极坐标系。原则：数据变化范围较大时，宜采用对数坐标系；与角度相关的可以采用极坐标系。2.6最小二乘法与曲线拟合实验数据的表示方法有多种。解析表达方法是常用的一种表达方式。实验曲线拟合：根据已有的测量数据，获得数据潜在的曲线。实验曲线拟合常用方法：最小二乘法。最小二乘法原理：测量点的残差平方和最小。最小二乘法基本理论：设Y和X1，X2，…，XN以及m个待估计参数a1,a2,…am.其函数关系为Y=f(a1,a2,…am;X1,X2,…XN)已知：对Y和X1，X2，…，XN做了n次独立的测量，得到n组数据：Yk和Xik.。如果对应于Yk有其相应的真值hk,则误差为：dk=Yk–hk假设m个待估计参数a1,a2,…am的最优估计值为a’1,a’2,…a’m2.6最小二乘法与曲线拟合最小二乘法基本理论：真值hk,的估计值为Y’k=f(a’1,a’2,…a’m;X1k,X2k,…XNk)我们称Y与Y’k之差为残差vk=Yk-f(a’1,a’2,…a’m;X1k,X2k,…XNk)最小二乘法：要求当参数a1,a2,…am等于a’1,a’2,…a’m时，残差的加权平方和最小：wk称为加权函数。2.6最小二乘法与曲线拟合最小二乘法原理物理意义：要得到真值的最佳估计值，应该使得测量值的残差平方和最小。换句话：真值的最佳估计值等于算术平均值2.6最小二乘法与曲线拟合直线与曲线拟合：实际中，需要根据一组观测数据（n对xi和yi）求得变量之间函数关系y=f（x）。一般依据最小二乘法原理。在平面直角坐标系中，有n对独立的观测数据点（x1,y1）,（x2,y2）,…（xn,yn），采用最小二乘法原理找到一条最接近该组数据的曲线，从而反映曲线的总体趋势。这个过程称为曲线拟合或回归。2.6最小二乘法与曲线拟合直线拟合2.6最小二乘法与曲线拟合直线拟合根据最小二乘法原理，要使得2.6最小二乘法与曲线拟合例1：炼钢是个氧化脱碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，下表给出某厂平炉生产的记录。xi表示熔毕碳的含量，yi表示冶炼时间，已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148试根据数据确定参数a

和b

，并估计熔毕碳的含量为130时的冶炼时间。2.6最小二乘法与曲线拟合i12345xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xiyi3085515498255001537520868108096法方程：5a+702b=758，

702a+99864b=108096解之得：a=-28.61878453038674,b=1.283609576427256

y＝-28.61878453038674+1.283609576427256x解：准备数据：2.6最小二乘法与曲线拟合2.6最小二乘法与曲线拟合例2：matlab程序%******************************%线性拟合实验程序%*******************************%---------------------%y=a+kx%----------------------clc;closeall;clear;%输入实验数据xi和yixi=[0,0,0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.5,2.5,2.5];yi=[0.0020,0.0030,0.0025,0.0035,0.0035,0.0040,0.2015,0.2020,0.2020,0.2030,0.2020,0.2030,0.4005,0.4020,0.4010,0.4020,0.4010,0.4020,0.6000,0.6010,0.6000,0.6015,0.6000,0.6010,0.7995,0.8005,0.7995,0.8005,0.7995,0.8005,1.000,0.9995,0.9990];n=length(xi);x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;fori=1:nx1=x1+xi(1,i)*yi(1,i);x2=x2+xi(1,i);x3=x3+yi(1,i);x4=x4+xi(1,i)^2;endk=(n*x1-x2*x3)/(n*x4-x2^2)a=(x4*x3-x2*x1)/(n*x4-x2^2)plot(xi,yi,'*r');xlabel('实验数据x');

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