第9章动态电路的暂态过程

第9章动态电路的暂态过程学习导言宇宙万物之中，静是相对的，动是绝对的。一池静水固然怡人，但知变化之道者，则不疾而速，不行而至。含有电容和电感等储能元件的动态电路，不但有稳态，而且还有瞬态(暂态)。本章重点分析动态电路的暂态过程。知识点睛学习本章，要掌握的知识点是：●一阶电路与微分方程

●

换路定律和时间常数

●零输入响应与零状态响应

●一阶电路的三要素法

●实用知识

本章目录9.1应用示例9.2动态元件与换路定律9.3一阶RC电路9.4一阶RL电路9.5一阶电路的三要素法9.1

应用示例我们在前面各章讨论的是电路在直流稳态或正弦稳态工作时的性能。实际上，电路中还发生着另一类暂态过程，电路在某种原因下从一种稳定状态转变到另一种稳定状态的中间过程称为暂态过程或过渡过程。闪光灯电路在实际中应用很广。图9-1是其简单的原理图。通过开关S的规律动作，电源US对电容不断地充电和放电，从而完成闪光的功能。图9-11、状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。2、换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。

基本概念3、暂态：动态元件L的磁场能量WL=0.5LI2和C的电场能量WC=0.5CUC2，在电路发生换路时必定产生变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通常称为“暂态”。

4、零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动态元件原始能量作用下引起的电路响应。5、零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部输入激励的作用下引起的电路响应。6、全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。9.2

动态元件与换路定律电容元件和电感元件不同于电阻元件，电容和电感为动态元件。电容上电流、电压时域关系为电容在t时刻储存的电场能为电容有以下两个重要特点：（1）线性电容元件的电流与其端电压的变化率成正比，电压变化越快，电容上储存的电荷量变化越快，电流越大。如果电压恒定不变，即，则电流为零，此时电容相当于开路。所以电容元件具有隔直流、通交流的特性。（9-1）（2）一般情况下，电容电流iC为有限值，也为有限值，在极小的时间间隔dt内，duC也应该为极小值，即电容电压uC是随时间连续渐变的，即不能跃变。如果uC发生跃变，则有iC就不是有限值了。所以，一般情况下电容电压是不能跃变的，电容电压的变化需要时间。对于t=0时刻来说，电容电压的连续性可以表示为式中表示0时刻前的瞬间，表示0时刻后的瞬间。称为初始状态。对于电感元件，其电流、电压的时域关系为电感在t时刻储存的磁场能为电感有以下两个重要特点：（1）线性电感元件的电压与其流过电流的变化率成正比，电流变化越快，电压越大。如果电流恒定不变，即，则电压为零，此时电感相当于短路。所以电感元件具有通直流、隔高频交流的特性。（2）一般情况下，电感电压uL为有限值，也为有限值，在极小的时间间隔dt内，diL也应该为极小值，即电感电流iL是随时间连续渐变的，即不能跃变。如果iL发生跃变，则有uL就不是有限值了。所以，一般情况下电感电流是不能跃变的，电感电流的变化需要时间。对于t=0时刻来说，电感电流的连续性可以表示为式中表示0时刻前的瞬间，表示0时刻后的瞬间。称为初始状态。上面讨论的概念具有一般性。从一种稳定状态转变到另一种稳定状态往往不能跃变，而是需要一定的时间，这个物理过程称为暂态过程或过渡过程。暂渡过程是能量不能跃变的具体体现。图（9-3）为动态电路暂态过程的示意图。t<0时是一种稳态，时电路是另一种稳态，中间是暂态过程。图9-3动态电路的暂态过程由上可得换路定律（switchinglaw）如下：电容电压和电感电流通常不能发生跃变，在t=0时刻发生换路时，必须满足：即电容电压和电感电流的起始值等于初始状态。上式是换路定律的数学表示。求初始值的一般步骤1、由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)；2、由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；3、画出t=0+的等效电路图：

uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)≠0时相当电压源；

iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)≠0时相当电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。[例9-1]

如图9-4（a）所示，已知C=0.1F，uC(0-)=0，若已知u

C(t)波形如图9-4（b）所示，求电容上的电流iC(t)。(a)(b)(c)图9-4例9-1图解已知电容电压求电流可以用式（9-1）其中各阶段电压的变化率由此可以得到电流随时间变化的波形图，如图9-4（c）所示。[例9-2]

如图9-6所示电路，开关打开前电路已达稳定。设t=0时S断开，求图9-6例9-2图解因S断开前电路稳定，这意味着电源给电容充电已经完成，iC=0，电容相当于开路。时电容两端电压应为2Ω电阻上的分压。即有由换路定律，应有9.3一阶电路的暂态分析学习目标：理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数τ的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。9.3.1一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应

只含有一个动态元件（因变量）的一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2

左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，之后由uC(0+)经R引起的电路响应称为RC电路的零输入响应。

RC电路的零输入响应R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2

根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为：

这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得：

式中的τ=RC称为一阶电路的时间常数。如果让电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电路响应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC放电的快慢程度取决于时间常数τ—R和C的乘积。式中R用Ω，C用F时，时间常数τ的单位是秒[s]。如果我们让上式中的时间t分别取1τ、2τ直至5τ，可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：由表可知，经历一个τ的时间，电容电压衰减到初始值的36.8%；经因两个τ的时间，电容电压衰减到初始值的13.5%；经历3~5τ时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认为3~5τ暂态过程基本结束。RC过渡过程中的响应规律曲线tiCuCiCuCUSiC(0+)0τ0.368USRC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：2.RL电路的零输入响应

左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅由iL(0+)=I0在电路中引起的响应称为RL电路的零输入响应。R＋SISuL－t=0＋－uRLI0

根据RL零输入响应电路可列写出方程为

若以iL为待求响应，可得上式的解为：式中称为RL一阶电路的时间常数，其大小同样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。电感元件两端的电压：电路中响应的波形图如左下图所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)0τ0.368I00.632I0R显然RL一阶电路的零输入响应规律也是指数规律。1、一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；一阶电路的零输入响应分析归纳2、零输入响应取决于电路的原始能量和电路特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数τ来体现的；3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零线性。9.3.2一阶电路的零状态响应1.、RC电路的零状态响应RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指数规律增加，用曲线可描述为：图示电路在换路前电容元件的原始能量为零，t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为RC电路的零状态响应。R＋SiCuC－t=0＋－USCtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632USτ可见在RC充电电路中，电容元件上的电压与电流方向关联，元件向电路吸取电能建立电场。RC零状态响应电路中的计算公式R＋SiCuC－t≥0＋－USC由RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压(即换路后的新稳态值)则电容电压的零状态响应为：电容支路电流的零状态响应：2.RL电路的零状态响应图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合。之后电感上电压、电流的变化称为RL电路的零状态响应。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为：可见，在RL零状态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USτuR0.632US/RRL零状态响应电路中的计算公式

RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值：

因此电感电流的零状态响应为：电感元件自感电压的零状态响应：St≥0R＋iLuL－＋－USL＋uR－1、一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；一阶电路的零状态响应分析归纳2、零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，也是通过时间常数τ来体现其特性的。RL一阶电路的时间常数τ=L/R；3、在零状态响应公式中的(∞)符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。9.3.3一阶电路的全响应

电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。R1＋SiCuC－（t=0）＋－USCR2R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1RC和RL全响应电路的解可表示为：全响应=零输入响应＋零状态响应例解图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t≥0时的uC(t）和iC(t)。＋SiCuC－（t=0）＋－2KΩ1mF1KΩ9V根据换路定律可得电路的时间常数τ零输入响应uC(t)'：以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)'表示；uC(t)“表示零状态响应，则有：一阶电路的全响应全响应uC(t)：电容电流的全响应iC(t)：电容电压的稳态值：零状态响应uC(t)"：由全响应结果可以看出，前面的常数6为稳态分量，后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此：全响应=稳态分量+暂态分量为什么iC只有暂态分量而没有稳态分量？

如用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示响应的初始值，f(∞)表示响应的稳定值，τ表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：9.3.4一阶电路暂态分析的三要素法上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。一阶电路三要素法应用举例例解已知图中U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。R1＋SiCuC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2先确定初始值uC(0+)：再确定稳态值uC()：最后确定时间常数τ：电容电压的变化曲线为：uC/VuC(t)00.632uC(t)τ2V4V2τ3τ4τ5τ显然，应用三要素法求解一阶电路全响应，只要求出其初始值、稳态值及时间常数τ，代入三要素法公式中即可。一阶电路三要素法应用举例应用三要素法求解响应的步骤1、确定初始值f(0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，L用电流源I0代替;若uC(0+)=0或iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路。作t=0+等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。2、确定稳态值f(∞)作t=∞的等效电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f(∞)。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。3、确定时间常数τ

RC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。参看课本P121页例题8.5。9.4一阶电路的阶跃响应学习目标：9.4.1单位阶跃函数ε(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义如下：理解单位阶跃函数的概念及物理意义，明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用。ε(t)=0t≤0-1t≥0+

ε(t)

01t注意：ε(t)在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在t=0时的动作。单位阶跃ε(t)实质上反映了电路在t=0时刻把一个零状态电路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作。＋－USS（t=0）零状态电路＋－ε(t)零状态电路ISS（t=0）零状态电路ε(t)零状态电路9.4.1单位阶跃函数ε(t-t0)的波形如右图示：如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是ε(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃，记作：ε(t-t0)=0t<t0

ε(t-t0)

01t注意：ε(t-t0)在t0处不连续，函数值由0跃变到1。1t>t0t09.4.1单位阶跃函数下图所示矩形脉冲波f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个ε(t)与一个ε(t-t0)的合成波：

f(t)'

01tt1t2

f(t)

01tt0

ε(t)

01t－ε(t-t0)

0－1tt0即：f(t)=ε(t)－ε(t-t0)

ε(t-t1)

01tt1

－ε(t-t2)

0－1tt2即：f(t)'=ε(t-t1)－ε(t-t2)9.4.2单位阶跃响应已知u=5·1(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的阶跃响应i。当激励为单位阶跃函数ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。解例＋－uR=2ΩC=1FuC(0+)_＋i零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：再求u单独作用下的初始值：时间常数τ：应用叠加定理求得响应：思考练习1、单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？2、说说(-t)、(t+2