江苏省南通市高三数学总复习优秀资源课件：第40讲合情推理与演绎推理综述

第40讲合情推理与演绎推理

江苏省通州高级中学主要内容一、聚焦重点三、廓清疑点类比推理所得结论的真伪性.二、破解难点合情推理和演绎推理的应用.理解合情推理与演绎推理.基础知识

推理——从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程.推理包含前提和结论两部分.推理演绎推理合情推理归纳推理类比推理依据判断问题研究如何利用归纳、类比和演绎进行推理？聚焦重点：归纳推理及其思维特点基础知识归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).典型例题1例1凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有着怎样的数量关系？思路分析例1凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有着怎样的数量关系？观察与计算：一些特殊多面体的面数F、顶点数V和棱数E；分析与归纳：面数F、顶点数V和棱数E三个量之间的数量关系，提出猜想；检验与证明：所作猜想是否正确.思路分析多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥五棱锥三棱柱立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔4645586610思路分析多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥五棱锥三棱柱立方体五棱柱正八面体截角正方体尖顶塔4645586812569710156610思路分析多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥五棱锥三棱柱立方体五棱柱正八面体截角正方体尖顶塔46456955868126610猜想:F+V－E=2欧拉公式证明:

查找资料，上网检索.916971015861271015回顾反思⑴对有限资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想.1.归纳推理的一般步骤：试验、观察概括、推广猜测一般性结论2.归纳推理的思维过程：回顾反思3.归纳推理的几个特点：⑴

归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,归纳推理实现了由特殊到一般的超越.⑵由归纳推理得到的结论具有猜测性质，是否真实还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.⑶归纳推理是具有创造性的推理.通过归纳得到猜想，帮助人们发现问题和提出问题.聚焦重点：类比推理及其思维特点由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.基础知识类比推理典型例题2

例2在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，则将上述结论类比到空间,你能得到怎样的猜想？ABCD思路分析平面空间三角形AB⊥ACAD⊥BC四面体三侧棱两两垂直AE⊥底面BCD证明猜想AEDCBF解连DE交BC于F，连AF.AE⊥BCAE⊥平面BCDAD⊥BCAD⊥平面ABC∵AD⊥AB

AD⊥ACAB∩AC=AAD⊥平面ABCBC⊥平面ADFAF平面ABCAD⊥AF证明猜想AEDCBFBC⊥AF回顾小结⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想.1.类比推理的一般步骤：观察、比较联想、类推猜测新结论2.类比推理的思维过程：回顾反思3.类比推理的几个特点：⑶类比推理是一种重要的数学思维活动.通过类比提出猜想，进而发现问题和提出问题.⑴

类比是依据一个特殊现象去推断另一个特殊现象,因而,类比推理是由此及彼的推理.⑵由类比推理得到的结论具有猜测性质，是否真实还需经过逻辑证明和实践检验.因此它不能作为数学证明的工具.回顾反思归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.通俗地说，合情推理就是“合乎情理”的推理.聚焦重点：演绎推理及其思维特点基础知识演绎推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,称为演绎推理.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提——已知的一般原理；⑵小前提——所研究的特殊情况；

⑶结论——对特殊情况做出的判断．典型例题3例3如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：DE=FA.ABDCEF⌒⌒思路分析例3如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：DE=FA.要证DE=FA，已知DE∥FA，只需证AFDE.已知DE∥FA，只需证DF∥EA，已知∠BFD=∠A，所以DF∥EA成立.ABDCEF⌒⌒证明过程证(1)同位角相等,两直线平行(大前提)∠BFD=∠A,(小前提)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以,DF∥EA.

(结论)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)DE和FA为平行四边形的对边,(小前提)所以，DE=FA.

(结论)ABDCEF⌒⌒回顾反思1.本例证明连续采用了三个三段论，每一个大前提都对应一个定理；2.在证明时，我们把前一个三段论的结论又作为后一个三段论的小前提.3.为方便起见,大前提或小前提有时可以省略.证明过程证⑴∠BFD=∠A,(小前提)⑵又DE∥BA

(小前提)所以,DF∥EA.

(结论)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)⑶所以，ED=AF.

(结论)ABDCEF⌒⌒或写成回顾反思演绎推理是收敛性思维,虽缺少创造性,但却条理清晰、令人信服,利于科学的理论化和系统化.演绎推理的几个特点1.演绎的前提是一般原理,演绎所得结论完全蕴涵于前提中,因而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提真实,推理正确,结论必定正确,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.破解难点：合情推理和演绎推理的应用问题研究合情推理与演绎推理在数学解题活动中各自起着怎样的作用呢？典型例题4思路分析分析猜想思路分析例4思路1

不等式的左边能否设法求和？无法实施，思维受阻！思路2

观察不等式的右边，你会想到什么？“裂项相消”的结果！证明过程例4证明回顾反思（1）思维策略：①特例观察，归纳共同特征；②猜想一般性结论；

③通过演绎推理，证明猜想.（2）数学方法：通过放缩，“裂项相消”.（3）思维误区：望“文”生义，固执求和！典型例题5例5已知x∈R，

m是非零常数，且有问：f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由.思路分析思路2根据结构特征，联想已学函数，由具体函数的周期性，类比得到函数f(x)可能具有的性质，再作出证明.思路1

设法求出函数解析式或作出其图象，通过观察再作判断.函数抽象，无法实施！例5思考1

从结构特征看:在你所学习过的常见函数中，是否存在具有类似性质的函数？思路分析y=tanx思考2

在这里，函数y=tanx的类似性质是什么？思考3

函数y=tanx是周期函数吗？周期是多少？思考4

那么，如果f(x)是周期函数，你觉得它的一个周期可能是________.4m例5思路分析周期函数T=4m

y=f(x)

y=tanx周期函数证明过程证明事实上，所以，f(x)是以4m为周期的周期函数.回顾反思（1）思维策略：观察结构，联想类比；（2）数学方法：“回到定义去”.（3）思维盲区：积累匮乏，联系“中断”！（4）思维误区：①企图求出具体解析式，最终因梦想破灭，无功而返;②以特殊代替一般，认定f(x)就是正切函数.廓清疑点：类比推理所得结论的真伪性问题研究与归纳推理一样，类比推理也具有发现功能，但由类比作出的猜想未必是真实的.那么，如何判断其真伪性呢？典型例题6⑴已知椭圆例6设斜率为k的直线l交椭圆

(a>b>0)于A、B两点，线段AB中点为M.证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.思路分析⑴已知椭圆思路1

以直线l的纵截距m为参数，通过联立方程组，求出中点M的坐标，证明其坐标满足一条经过原点的直线方程.思路2

本题为“中点弦”问题，也可采用“点差法”.例6设斜率为k的直线l交椭圆

(a>b>0)于A、B两点，线段AB中点为M.证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.证明过程⑴已知椭圆解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0).由

b2x12

＋a2y12＝a2b2,

b2x22

＋a2y22＝a2b2.

b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0∵x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0

b2x0(x1－x2)＋a2y0(y1－y2)＝0∵y1－y2＝k(x1－x2)b2x0＋ka2y0＝0.

即动点M在一条过原点的定直线上.探究1双曲线是否也有上述椭圆类似的几何性质？典型例题6⑴已知椭圆例6设斜率为k的直线l交椭圆

(a>b>0)于A、B两点，线段AB中点为M.证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.等价结论：椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上.类比：双曲线的一组平行弦的中点都在一条经过双曲线中心的定直线上.结论正确探究2抛物线中的类似几何性质是什么？典型例题6⑴已知椭圆例6设斜率为k的直线l交椭圆

(a>b>0)于A、B两点，线段AB中点为M.证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.等价结论：椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上.类比：抛物线的一组平行弦的中点都在一条经过抛物线顶点的定直线上.？证明过程解设斜率为k的直线交抛物线y2=2px与两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0).由

y12＝2px1,y22＝2px2.

(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)∵y1＋y2＝2y0y0(y1－y2)＝p(x1－x2)

∵y1－y2＝k(x1－x2)

y0＝.pk所以，动点M在一条平行于y轴的定直线上.结论：抛物线的一组平行弦的中点都在一条平行于抛物线对称轴的定直线上！回顾反思（1）思维策略：①根据相似性，进行类比推理;②利用演绎推理，判别真伪.（2）思维误区：只注意了类比的“发现”功能，而忽略了演绎的调控作用.（3）体验感悟：①数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常帮助我们猜测和发现结论;

②证明一个数学结论之前，合情推理又常常为我们提供证明的思路和方向.总结提炼1.从思维特点看：

①归纳是由特殊到一般的推理；

②类比是由特殊到特殊的推理；

③演绎是由一般到特殊的推理.2.从所得结论看：

①合情推理的结论未必正确,有待证明；

②演绎推理得到的结论一定正确.总结提炼3.从所起作用看：

①演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程；