第三章多维随机变量及其概率

第三章多维随机变量及其概率3.1

二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数边缘分布函数：

(X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y).边缘分布函数可由联合分布函数来确定.如下几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图.yx(x,y)0D

利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域{x1<X≤

x2,y1<Y≤y2}内(如下图)的概率为：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)回忆:分布函数F(x)的性质.例3-1解3.1.2二维离散型随机变量定义3-3

若二维随机变量(X,Y)只能取有限多对或可列无穷多对(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)则称(X,Y)为二维离散型随机变量.

设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各个可能取值的概率为：P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)称P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)为(X,Y)的分布律.(X,Y)的分布律还可以写成如下列表形式：XYy1y2

…yj

…x1x2…xi…p11

p12…p1j

…p21

p22…p2j

…pi1

pi2…pij

…………………(X,Y)的分布律具有下列性质:回忆：分布律{PK}的性质.(1)

0

≤PK

≤1；(2)

P1+P2+

…+PK…

=1.(1)

0

≤Pij

≤1(i,j=1,2,…);反之,若数集{pij}(i,j=1,2,…

)

具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例3-2设(X,Y)的分布律为XY123

12求常数a的值.解由分布律性质知，例3-3

设(X,Y)的分布律为XY123

00.10.10.3

10.2500.25求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}.解

(1){X=0}={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}两两互不相容,P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.所以，XY定义3-4

对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为Pi.

(i=1,2,…)(或P.j

(j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.事实上，XY则(X,Y)的分布律与边缘分布率为：XY则(X,Y)的分布律与边缘分布率为：XY1.设随机变量(X,Y)的联合分布如下,则a=______XY练习

2.二维随机变量(X,Y)的分布律如下XY

则P{Y=2}=___________.3.设二维随机变量(X,Y)的分布律如下

则P{XY=0}=___________.XY4.设二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：(1)写出(X,Y)的分布律；(2)分别求(X,Y)关于X,Y的边缘分布律.且取这些值的概率依次为

3.1.3

二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度

一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴.二维随机变量(X,Y)的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面，一维随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f(x)，满足：定义3.5的分布函数则称是连续型的二维随机变量,函数或X与Y的联合密度使对于对于二维随机变量（X,Y)的概率密度

,随机变量任意有如果存在非负的函数函数.概率密度函数f(x,y)的性质：判断一个二元函数是否可做为概率密度函数的依据.如果已知(X,Y)的概率密度函数f(x,y)，则(X,Y)在区域D内的取值的概率为：二维连续行随机变量的均匀分布与二维正态分布yx0.5y=xx+y=1所以即1.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则常数a=_______.2.设随机变量X和Y的联合密度为则P{X>1,Y>1}=________.练习3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度则P{X+Y≤1}=________.5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度则(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=________.4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则(X,Y)关于Y的边缘概率密度为___________.3.2

随机变量的独立性回忆：两个事件相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A,B独立.3.2.2二维离散型随机变量的独立性例3-16

设(X,Y)的分布律为YX这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0

的集合外，处处成立.联合分布函数与边缘分布的关系:联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布完全确定.

1.设随机变量(X,Y)的概率密度是问X和Y

是否相互独立?练习3.3

两个随机变量的函数的分布3.3.1离散型随机变量的函数的分布例3-24

设(X,Y)的分布律为求Z=X+Y的分布律.XY结论设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为：试求：（