第三章受弯构件正截面承载力计算

第二章课后习题答案

受弯构件是指截面上通常有弯矩和剪力共同用而轴力可忽略不计的构件。受弯构件由弯矩作用而发生的破坏称正截面破坏（破坏截面与构件的纵轴线垂直）。钢筋混凝土受弯构件会在弯矩作用下，由于正截面裂缝的发展导致承载力不足而破坏，因此必须通过纵向钢筋设计来确保正截面的受弯承载力，并改善其破坏性质，这就是本章将要讨论的。概述三受弯构件正截面承载力计算三受弯构件正截面承载力计算本章内容提要梁、板的构造；适筋梁正截面受弯破坏的三个阶段，截面的应力分布，截面的破坏形式；正截面受弯承载力计算的基本规定，等效矩形应力图形，相对界限受压区高度，最大、最小配筋率；单筋矩形截面、双筋截面、T形截面梁的计算，截面的换算。PPMPl/3VPl/3l/3l/3受弯构件受力图破坏形态

正截面受弯破坏：弯矩作用下产生的破坏（沿铅垂面）。受弯构件主要指结构中各种类型的梁与板。受弯构件的受力特点是截面上承受弯矩M和剪力V。受弯构件承载力的设计内容：

(1)正截面受弯承载力计算—按已知截面弯矩设计值M，确定截面尺寸和计算纵向受力钢筋；

(2)斜截面受剪承载力计算—按受剪计算截面的剪力设计值V，计算确定箍筋和弯起钢筋的数量。三受弯构件正截面承载力计算

bhl0纵向钢筋★正截面受弯承载力设计为防止正截面破坏，须配纵向钢筋。第一节受弯构件的截面形式和构造1.1、截面形式1.几何形状分：矩形、T形、工形、箱形、Γ形、Π形等。（建工）桥涵常用截面形式T形吊车梁截面形式评述（1）板式截面：制作简单，但自重大，抗弯效率低。适用跨径简支梁lb≤13m连续梁lb≤16m预应力砼简支梁lb≤25m预应力砼连续板lb≤30m用途：用于小桥及涵洞、盖板沟。①实心矩形板：

整体现浇：整个桥宽一次完成现浇，也可根据施工安排一次浇桥半幅宽度。搭设支架施工；预制：板宽1m或99cm，吊装。②空心板：一般预制，，具体构造、尺寸参阅“公路桥涵通用图集”。单孔双孔三孔③板的最小厚度车行道板：跨间10cm，悬臂端10cm预制人行道板6cm现浇人行道板8cm空心板顶、底板8cm板厚增加模数：1cm为1级。（2）矩形截面梁：高宽比h/b=2.0～2.5。制造模数b可取12、15、18、20、22、25、30、35，以后按5cm（梁高80cm以内）或10cm(梁高80cm以上）一级增加；h可取：h=25、30、……、75、80、90、…(cm)。由于矩形截面梁抗弯能力有限，公路桥涵一般不使用。bh（3）T形截面T型梁：截面形式为T型的梁。两侧挑出部分称为翼缘，其中间部分称为梁肋。由于其相当于是将矩形梁中对抗弯强度不起作用的受拉区混凝土挖去后形成的。与原有矩形抗弯强度完全相同外，却即可以节约混凝土，又减轻构件自重，提高了跨越能力。T形梁截面受压区利用耐压的混凝土做成翼缘板并兼作桥面；受拉区用钢筋或预应力钢筋承受拉力。（3）T形截面桥位现浇预制吊装，通常采用预制结构类型普通钢筋砼T形梁预应力砼T形梁，下端做成“马蹄”常见尺寸：h／b=2.5～4.0h／l=1／10～1／18肋宽b=15～18cm翼宽=160～220cm翼板高：翼缘≥10cm，根部≥

1／10hT形梁尺寸参阅“通用图”、“桥梁设计手册”bh（4）其它截面

箱形截面，分单箱，双箱。预应力砼简支梁等钢筋砼连续梁钢筋砼简支梁工形预应力砼简支梁lb≤50m，桥梁上不单独使用钢筋砼简支梁lb≤16m1.2、受弯构件的钢筋构造1、配筋率ρ概念ρ用来衡量用钢量的多少，ρ大小还影响梁的破坏形态。As—梁下部全部纵向受拉钢筋的截面积b—梁宽或肋宽h0—截面有效高度，h0=h-asas—全部受拉钢筋重心至截面下缘的距离c—钢筋的砼保护层厚度，指钢筋外皮至构件表面距离，要满足构造规定的最小值要求ch0hasAsb2、钢筋混凝土梁（板）截面梁的分类

钢筋混凝土梁（板）正截面承受弯矩作用时，中和轴以上受压，中和轴以下受拉，故在梁（板）的受拉区配置纵向受拉钢筋，这种构件称为单筋受弯构件；如果同时在截面受压区也配置受力钢筋，则这种构件称为双筋受弯构件。1.2、受弯构件的钢筋构造单筋受弯构件双筋受弯构件1.2、受弯构件的钢筋构造3、板内钢筋构造（1）板主要类型

按平面形状正交板斜交板按支撑位置单向板：沿两对边支承的板双向板：四边支承的长方形的板1.2、受弯构件的钢筋构造（2）板内钢筋间距≤200mm净距3层以内≥30mmC≥30,d分布筋h0h0=h

-as主筋直径h

车行道

人行道as1）分布钢筋：将集中荷载分布到受力主筋上，其数量不需计算。作用：抵抗温度应力及砼收缩应力。施工：通过点焊或绑扎固定主筋位置。2）纵向主筋：数量由计算确定，并满足构造规定，尽可能采取“密排多根”布置3）板内一般按单筋布置，板较厚时应布置箍筋。（4）砼保护层厚度（3）斜交板的钢筋布置cc

cccc

c

c

h0a≥30mm1.5d≥mind≥mind≥mind≥mind≥mind（1）作用：保护钢筋不锈蚀、防火及确保粘结力；（2）计算：受力钢筋外表面到截面边缘的垂直距离；（3）规定：保护层厚度与构件受力情况、混凝土级别及所处环境类别有关，具体见附录四。d=10~28mm(常用)（4）砼保护层厚度1.2、受弯构件的钢筋构造4、梁内钢筋构造（1）梁内主要的钢筋种类有：主筋（纵向受拉或受压）：承受因弯矩产生的拉力或压力。弯起钢筋（或斜筋，补焊在上下纵筋之间）：承受剪力。箍筋：承受剪力及绑扎形成骨架。

架立钢筋：承受压力及固定箍筋。

水平纵向钢筋：减少梁侧面混凝土裂缝宽度。其它：吊装锚筋、定位筋等。（2）梁内钢筋骨架（3）各种钢筋的布置及构造①主筋双筋布置：受压区也布置受压钢筋，辅助混凝土受压单筋布置：只在受拉区布置受拉纵筋主筋数量由计算决定。主筋常用规格d＝14～32mm，一般d不超过40mm。为方便备料及施工不致搞错，同一片梁内主筋的规格不宜过多，最多不超过3种。主筋可布置1层，1层放置不下时，可布置2层、3层或更多层。截面应对称布筋；为发挥钢筋潜力，粗钢筋在下，细钢筋在上。bhh0=h-60净距Sn≥30mm

≥d≥40mm≥1.25d不超过3层时超过3层时SnSnSnccc架立筋受压筋箍筋受拉主筋主筋保护层、净距要符合规定，以免钢筋锈蚀和确保砼震捣密实。主筋保护层、净距要符合规定，以免钢筋锈蚀和确保砼震捣密实。钢筋保护层厚度规定主筋之间净距规定布置时注意事项：设计时可根据主筋的数量单根逐排布置，也可2～3根集束布置，束筋等代直径及以及组成钢筋直径规定如下：束筋等代直径大体积构件如抗滑桩，主筋多用束筋方式布筋。对T形梁类带肋构件，可采用竖向不留空隙的焊接骨架斜筋弯起钢筋架立钢筋纵向钢筋焊缝（双面焊时）轴线圆弧半径不小于10d

图3—6短焊缝主筋布置总结：纵向受力钢筋的直径不能太细－保证钢筋骨架有较好的刚度，便于施工；不宜太粗－避免受拉区混凝土产生过宽的裂缝。钢筋宜布置成最少层数，且尽可能在接近梁底的位置，排筋的原则是：“自下而上，下粗上细，对称布置”主筋焊接接长或搭接接长：按设计或施工规范执行，控制搭接长度和断面接头比例。

是专为满足斜截面抗剪而设置的，一般由主筋弯起而成，当主筋数量不够弯起时，还需专门补充斜筋，弯起钢筋数量由计算确定。

不得采用浮筋——指斜筋未与主筋焊接。②弯起钢筋（和斜筋）箍筋作用有3个：1）是满足斜截面抗剪，承受部分主拉应力；2）是保证梁截面内受拉区、受压区的良好联系，联接受拉主筋和受压区混凝土使其共同工作；3）是固定主筋位置并通过绑扎或焊接使梁内各种钢筋形成牢固骨架。箍筋数量一般应由计算上确定，当按计算无需箍筋时，也须按规范构造规定布置足够数量的箍筋，有封闭式和开口式两种。

箍筋直径多为8～10mm，且不小于所箍主筋直径的1/4。箍筋用量、间距按规范执行。③箍筋④架立钢筋架立钢筋是为构造上或施工上的需要而设的，其作用是固定箍筋并与主筋等钢筋形成骨架，其直径依梁截面尺寸大小而定，矩形梁d=10～14mm，T形梁适当加粗，多采用22mm；通常只在梁上方两侧各设2根。架立筋数量无需计算。架立筋可与纵向受压主筋合并，此时受压纵筋要合并放在架立筋位置。⑤水平纵向钢筋沿梁肋高度两侧面，在箍筋外侧沿水平方向布设，以抵抗温度应力及混凝土收缩而产生的竖向裂缝，所以它起到防裂钢筋网作用。数量由计算确定，水平纵向钢筋间距一般10～15cm，下密上疏。直径d=6～10mm，两侧面总用量推荐（0.001～0.002）bh。以螺纹筋防裂效果好。

基本构件研究的规律试验研究破坏规律计算假定基本公式适用条件构造要求第二节受弯构件正截面受力全过程和破坏形态1.梁的布置及特点

通常采用两点对称集中加荷，加载点位于梁跨度的1/3处，如下图所示。这样，在两个对称集中荷载间的区段(称“纯弯段”)上，不仅可以基本上排除剪力的影响(忽略自重)，同时也有利于在这一较长的区段上(L／3)布置仪表，以观察粱受荷后变形和裂缝出现与开展的情况。在“纯弯段”内，沿梁高两侧布置多排测点，用仪表量测梁的纵向变形。目的——观察受力阶段，分析截面正应力分布，破坏形态；找到工程上可接受的破坏模式。

2.1、试验研究纯弯段剪弯段a剪弯段a跨度测试元件的布置图MV简支梁三等分加载示意图2.适筋梁的破坏全过程

在试验过程中，荷载逐级增加，由零开始直至梁正截面受弯破坏。整个过程可以分为如下三个阶段：PP垂直裂缝混凝土开裂前--第一阶段；

钢筋屈服前--第二阶段；

梁破坏（混凝土压碎）前--第三阶段。1、适筋梁正截面受弯破坏的三个阶段

(a)受弯适筋梁挠度——弯矩的关系0.40.60.81.0ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

WMMwⅠ阶段:M较小，无裂缝，f与M成正比,为直线，但M＞Mcr时,砼开裂，梁的挠度加大，形成折点1。Ⅰa

：Ⅰ阶段末期Ⅲ阶段:钢筋屈服，钢筋应变急剧加大，f急剧增加，当M达Mu时，上部砼被压碎，梁破坏。Ⅲa：Ⅲ阶段末期Ⅱ阶段:带裂缝工作，正常使用情况，当M≥My,σs=fy,f剧增，形成折点2。Ⅱa：Ⅱ阶段末期折点1折点2（b）受弯适筋梁钢筋——弯矩的关系0.40.60.81.0ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

esM/Mu

ey钢筋屈服应变0.40.60.81.0McrMyMu0

fM/Mu

fcr

fy

fu（c）受弯适筋梁弯矩——曲率的关系（d）受弯适筋梁弯矩——受压区高度的关系0.40.60.81.0McrMyMu0M/Mu0.50.40.30.20.10.40.60.81.0ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

fM/MuhasbAsh0（e）受弯适筋梁截面上的应力应变分布（图3—11）Mcr

=etuIaM3MuM1σs＜fsk＜e

tuⅠ应力应变σt＜ftkσc＜fckσc＜fckσt=ftkσs＜fskM2Ⅱesσs＜fskσc＜fck＞eyecuⅢaσs=fskσc=fck＞eyⅢσs=fskσc＜fckⅡae

yMyσs=fskσc＜fckMⅠ阶段截面应力和应变分布①荷载很小时，拉区混凝土开裂前，全截面均参加受力。虽受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率曲线基本接近直线。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。McretuⅠa状态截面应力和应变分布ft②当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（et=etu），为截面即将开裂的临界状态（Ⅰa状态），此时的弯矩值称为开裂弯矩Mcrcrackingmoment。压区由于应力很小均为三角形分布。Mcr≈0.25Mu⑴弹性受力阶段（Ⅰ阶段）σs＜fsk＜e

tuσt＜ftkσc＜fck第Ⅰ阶段特点：a.混凝土未开裂；b.受压区应力图形为直线，受拉区前期为直线，后期为曲线；c.弯距－曲率呈直线关系。①在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。⑵带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）第Ⅱ阶段约占破坏荷载的25％～85％0.40.60.81.0McrMyMu0M/Mu0.50.40.30.20.1xn=xn/h0MesⅡ阶段截面应力和应变分布σs＜fskσc＜fckx相对界线区高度⑵带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）②随着荷载增加，受拉区不断出现一些裂缝，拉区混凝土逐步退出工作，截面抗弯刚度降低，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率曲线有明显的转折。③虽然受拉区有许多裂缝，但如果纵向应变的量测标距有足够的长度（跨过几条裂缝），则平均应变沿截面高度的分布近似直线。（平截面假定）MesⅡ阶段截面应力和应变分布σs＜fskσc＜fck垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面，并且同变形后的杆件轴线垂直。⑵带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）④荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，但中和轴位置没有显著变化。⑤由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。0.40.60.81.0McrMyMu0M/Mu0.50.40.30.20.1xn=xn/h0MesⅡ阶段截面应力和应变分布σs＜fskσc＜fck⑵带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）⑧当钢筋应力达到屈服强度时，梁的受力性能将发生质的变化。此时的受力状态记为Ⅱa状态，弯矩记为My，称为屈服弯矩(yieldingmoment)。My≈85%Mu⑨此后，梁的受力将进入屈服阶段（Ⅲ阶段），挠度、截面曲率、钢筋应变及中和轴位置曲线均出现明显的转折。⑥荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，但中和轴位置没有显著变化。⑦由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。MesⅡ阶段截面应力和应变分布σs＜fskσc＜fckⅡae

yσs=fskσc＜fckMy第Ⅱ阶段特点：a.裂缝截面处，受拉区大部分砼退出工作，拉力主要由钢筋承担，单钢筋未屈服；b.受压区砼已有塑性变形，但不充分；c.弯距－曲率关系为曲线，曲率与挠度增长加快。①对于配筋合适的梁，钢筋应力达到屈服时，受压区混凝土一般尚未压坏。②在该阶段，钢筋应力保持为屈服强度fsk不变，即钢筋的总拉力T保持定值，但钢筋应变es则急剧增大，裂缝显著开展。③中和轴迅速上移，受压区高度xn有较大减少。⑶屈服阶段（Ⅲ阶段）0.40.60.81.0McrMyMu0M/Mu0.50.40.30.20.1xn=xn/h0适筋梁荷载与中和轴高度的关系M>εyⅢ阶段截面应力和应变分布σc＜fckσs=fsk⑶屈服阶段（Ⅲ阶段）④由于受压区混凝土的总压力C与钢筋的总拉力T应保持平衡，即T=C，受压区高度xn的减少将使得混凝土压应力和压应变迅速增大，混凝土受压的塑性特征表现的更为充分。⑤同时，受压区高度xn的减少使得钢筋拉力T与混凝土压力C之间的力臂有所增大，截面弯矩也略有增加。0.40.60.81.0McrMyMu0M/Mu0.50.40.30.20.1xn=xn/h0适筋梁荷载与中和轴高度的关系M>εyⅢ阶段截面应力和应变分布σc＜fckσs=fsk⑶屈服阶段（Ⅲ阶段）⑥由于在该阶段钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变都发展很快，截面曲率f和梁的挠度变形f也迅速增大，曲率f和梁的挠度变形f的曲线斜率变得非常平缓，这种现象可以称为“截面屈服”。M>εyⅢ阶段截面应力和应变分布σc＜fckσs=fsk⑶屈服阶段（Ⅲ阶段）⑦由于混凝土受压具有很长的下降段，因此梁的变形可持续较长，最后达到一个最大弯矩Mu。⑧超过Mu后，承载力将有所降低，直至压区混凝土压碎。Mu称为极限弯矩，此时的受压边缘混凝土的压应变称为极限压应变ecu，对应截面受力状态为“Ⅲa状态”。⑨ecu约在0.003~0.005范围，超过该应变值，压区混凝土即开始压坏，表明梁达到极限承载力。因此该应变值的计算极限弯矩Mu的标志。Mu>eyⅢa阶段截面应力和应变分布ecuσs=fskσc=fck第Ⅲ阶段特点：a.纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；b.裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区砼压应力曲线图形比较丰满，有上升段，也有下降段；c.压区边缘砼压应变达到其极限压应变εcu，混凝土被压碎，截面破坏；d.

弯距－曲率关系为接近水平的曲线。划分三个工作阶段的界限状态特征是：

①混凝土下缘拉裂

②钢筋开始屈服

配筋适量的钢筋混凝土梁：在屈服阶段承载力基本保持不变，变形可以持续很长的现象，表明在完全破坏以前具有很好的变形能力，有明显的预兆，这种破坏称为“延性破坏”从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力。虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（et=etu），为截面即将开裂的临界状态，此时的弯矩值称为开裂弯矩Mcr在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，但中和轴位置没有显著变化。由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。当荷载达到某一数值时，纵向受拉钢筋将开始屈服。该阶段钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变都发展很快，截面受压区边缘纤维应变增大到混凝土极限压应变时，构件即开始破坏。其后，再进行试验时虽然仍可以继续变形，但所承受的弯矩将开始降低，最后受压区混凝土被压碎而导致构件完全破坏。梁的三个工作阶段总结第一阶段：计算Mcr,抗裂计算的依据第二阶段：构件在正常使用极限状态中变形与裂缝宽度验算的依据第三阶段：承载力极限状态Mu计算的依据钢筋混凝土受弯构件的破坏类型塑性破坏（延性破坏）——破坏前有明显的变形或征兆脆性破坏——破坏前无明显的变形或征兆钢筋混凝土受弯构件的破坏形态2.2、受弯构件正截面破坏形态钢筋混凝土受弯构件的破坏性质相关因素配筋率钢筋强度等级混凝土强度等级归纳为3种①适筋梁破坏②超筋梁破坏③少筋梁破坏第1种破坏情况—适筋破坏配筋量适中：受拉钢筋先屈服，然后砼边缘达到极限压应变

εcu，砼被压碎，构件破坏。破坏前，有显著的裂缝开展和挠度，有明显的破坏预兆，属塑性破坏(延性破坏)。

第2种破坏情况—超筋破坏配筋量过多：受拉钢筋未达到屈服，受压砼先达到极限压应变而被压坏。承载力控制于砼压区，钢筋未能充分发挥作用。裂缝数多、宽度细，挠度也比较小，砼压坏前无明显预兆，属脆性破坏。

第3种破坏情况——少筋破坏配筋量过少：拉区砼一出现裂缝，钢筋很快达到屈服，可能经过流幅段进入强化段。破坏时常出现一条很宽裂缝，挠度很大，不能正常使用。开裂弯矩是其破坏弯矩，属于脆性破坏。适筋梁破坏超筋梁破坏少筋梁破坏

结论:(1)适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性。

(2)适筋破坏和超筋破坏之间存在一种“界限”破坏。其特征是钢筋屈服的同时，混凝土被压碎。

(3)在适筋破坏和少筋破坏之间存在一种“界限”破坏。其特征是屈服弯矩和开裂弯矩相等。

(4)超筋梁与少筋梁的破坏均为突发性的脆性破坏。（5）结构设计中，不容许出现超筋梁与少筋梁。

基本构件研究的规律试验研究破坏规律计算假定基本公式适用条件构造要求第二节受弯构件正截面受力全过程和破坏形态第三节正截面受弯承载力计算方法(1)截面的应变沿截面高度保持线性分布－简称平截面假定eescxch0fy3.1.正截面承载力计算的基本假定垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面，并且同变形后的杆件轴线垂直。第三节正截面受弯承载力计算方法(2)不考虑混凝土的抗拉强度。MTxcTcC1.正截面承载力计算的基本假定图3—15对应图1—10CD段AB混凝土受压σ—ε关系，按以下规定取用（见图3—15）：上升段：水平段：

σ0—峰值应力，σ0

＝0.85fck,，,fck为砼标准圆柱体抗压强度。

ε0—峰值应变，ε0＝0.002（3—2）(3)混凝土的压应力－压应变之间的关系为：有屈服点钢筋(4)钢筋的应力－应变方程为：硬钢图3—16AB屈服阶段

钢筋的σ—ε关系采用理想弹塑性模型。为钢筋屈服强度，屈服应变为

，强化段开始的应变为（3—3）（3—4）1)、等效矩形应力图形（图3—17）

受弯构件正截面承载力的计算前提是要确定混凝土压应力的分布图形，明确受压区混凝土的压应力合力C及其作用位置yc

目的：根据基本假定，确定出实用的计算图式1、已知：钢筋的作用点位置as，应力大小fsd；未知：受压区砼合力C大小、作用点位置yc。3.2.适筋和超筋破坏的界限条件1)、等效矩形应力图形（图3—17）

由图3—17，由及定义

得到y0=ε0ξch0∕εcu，即得与ε0对应的切点高度位置y0。

由于应力分两段，故求合力C也应分两段累加：=ξcxch0xc受压区高度ξc受压区高度系数返回积分后得到：（3—5）

作用点距截面上缘的位置yc，由理论力学求合力点位置公式（

）计算：上式积分后得到：（3—6）

上述计算，在实际工程中应用很不方便。在实际工程中，通常采用等效矩形应力图形代替理论应力图形。即：仅需知道C的大小和作用位置yc就足够了。xcCTszM

σ0yc等效x=bxcCTszM

ycxc=ξch0x=βxc实际中性轴计算中性轴

受压区合力C的大小不变；

受压区合力C的作用位置yc不变。应力图形转换的原则满足以上两个条件，图形的转换便不会影响受弯的计算结果。1)等效矩形应力图

思路：取等效矩形应力图形来代替受压区混凝土实际应力图=fcdγσ0xcCTszM

σ0yc等效

转换为右图：等效矩形区高度x=β

xc

，等效应力值为

等效矩形区合力C为：x=bxcCTszM

（3—7）合力点的位置为：（3—8）ycxc=ξch0x=βxc实际中性轴计算中性轴γσ0=fcdγσ0根据等代原则，将上述几式相合并，然后求解含有未知数β和γ的联立方程，可以得到若取ε0=0.002εcu=0.0033，代入（3—7）、（3—8）式，《桥规》取γσ0＝fcd，即等效压应力＝砼轴心抗压强度设计值。表3—1

混凝土受压区等效矩形应力图系数≤C50C55C60C65C70C75C80εcu0.00330.003250.00320.003150.00310.003050.003β0.800.790.780.770.760.750.74而等效矩形应力图高度系数β与砼强度等级有关，见下表：3.3.相对界限受压区高度ξb砼相对受压区高度ξ（简称受压区高度系数）

砼相对界限受压区高度ξb(简称受压区高度界限系数)

界限破坏——指砼受压区边缘达到极限压应变εcu的同时，钢筋也达到屈服拉应变εy。对应的配筋率ρmax是适筋梁配筋率的上限。若使梁为适筋梁，必须ρmin≤ρ≤ρmax。若ρ≥ρmax，则破坏始于受压区砼被压碎。梁的破坏特征，可用受压区高度x来说明。2.适筋和超筋破坏的界限条件界限破坏：受拉钢筋达到屈服强度的同时受压砼达到极限压应变，此时：cs>ys<yys=ycu=0.0033xc<xbxc>xb超筋截面界限配筋截面s适筋、超筋、界限破坏时的截面平均应变图1-适筋破坏2-界限破坏3-超筋破坏xc=xbρmin≤ρ≤ρmax适筋截面ρ=ρmaxρ＞ρmax=ξbxbh0xb受压区高度ξb相对界限混凝土受压区高度受压区混凝土的应力分布图:理论应力图

等效矩形应力图受压区混凝土的应力分布图

CTszMufc

ycxCTsz

cxc

ycMubhh0As

在等效矩形应力图上：

x——等效矩形受压区高度；xc——实际受压区高度

由定义x＝βxc，界限破坏时x＝βxb

，相应受压区高度界限系数又可表示为：在书中图（3-18）上，有以下关系2.适筋和超筋破坏的界限条件h0s=ycu=0.0033xc=xbcs>ys<yys=ycu=0.0033xc<xbxc>xb超筋截面界限配筋截面s适筋、超筋、界限破坏时的截面平均应变图1-适筋破坏2-界限破坏3-超筋破坏

显然受压区高度界限系数ξb仅与材料性能有关，而与截面尺寸无关。书中规定相对界限混凝土受压区高度ξb按下表采用：（3—12）设计时，ξb可从规范查表：3.4最小配筋率ρmin

ρmin确定，按Mcr=Mu考虑：“截面开裂后，构件不致立即失效”为原则。即配筋率为ρmin的钢筋砼梁，破坏瞬间所能承受的弯距（Ⅲ阶段），应不小于同样截面的素砼梁在即将开裂时的承载力（Ⅰa阶段），并综合温度收缩应力、构造、以往设计经验等确定。纵向受拉钢筋的ρmin（包括偏心受拉构件、受弯、偏心受压构件中受拉一侧的钢筋用量)规定为：

ρminVS0.2%取二项中较大值控制设计思考题：（1）正截面承载力计算采用的破坏特征是哪种？（2）ρmax、ρmin是如何确定的？ρ对构件破坏形态有何影响?（3）弄清ρ、各种钢筋的功能与位置、净保护层、最小净距等概念。（4）描述受弯构件正截面破坏形态。（5）ξb的概念（6）什么是等效矩形应力图？bhh0xAsfyAsh0-x/2fcbxMu

计算简图单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图第四节单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算基本公式（3—13）（3—14）（3—15）§4单筋矩形截面受弯构件一、1、计算图式（图3—19）C=fcdbxT=fsd

Assγ0Mdx=ξh0cfcd计算中性轴h0hasAsb2、基本公式（3—13）（3—14）（3—15）bhh0xAsfyAsh0-x/2fcbxMu

计算简图单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图第四节单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算基本公式（3—13）（3—14）（3—15）符号含义：—结构重要性系数，由表（2—3）确定—计算截面抗弯承载力，由式（3—14）或（3—15）确定—砼轴心抗压强度设计值，查附表（1—1）—纵向受拉钢筋抗拉强度设计值，查附表（1—3）—全部纵向受拉钢筋截面积，—截面宽度—截面有效高度，as为全部纵向受拉钢筋合力作用点至截面下缘的距离，按理论力学方法计算：（3—13）（3—14）（3—15）适用条件2.计算方法1）截面设计没有唯一解根据受力性能、材料供应、施工条件、使用要求等因素综合分析，确定经济合理的设计。已知：弯矩设计值M、系数γ0、截面尺寸b×h、砼标号、钢筋强度等级求：截面配筋Asch0hasAsb（3—13）（3—14）（3—15）

ρminVS0.2%查表法查表法计算过程2）截面复核思考题bhh0xAsT=fsdAsZ=h0-x/2C=fcdbxMu单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图第四节单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算基本公式（3—13）（3—14）（3—15）由截面上水平方向内力之和等于零的平衡条件T+C=0由截面上对受拉钢筋合力T作用点的力矩之和等于零的平衡条件由对受压混凝土合力C作用点取力矩之和等于零的平衡条件T+C=01.基本公式符号含义：—结构重要性系数，由表（2—3）确定—计算截面抗弯承载力，由式（3—14）或（3—15）确定—砼轴心抗压强度设计值，查附表（1—1）—纵向受拉钢筋抗拉强度设计值，查附表（1—3）—全部纵向受拉钢筋截面积，—截面宽度—截面有效高度，as为全部纵向受拉钢筋合力作用点至截面下缘的距离，按理论力学方法计算：（3—13）（3—14）（3—15）2.适用条件基本公式（3—13）（3—14）（3—15）3.计算方法(截面设计）（3—14）相对界限受压区高度可通过查表方式求得（3—13）ch0hasAsb

ρminVS0.2%3、计算方法（截面复核）（3—14）（3—15）bhh0=h-60净距Sn≥30mm

≥d≥40mm≥1.25d不超过3层时超过3层时SnSnSnccc架立筋受压筋箍筋受拉主筋思考题2-12-22-42-53.5双筋矩形截面受弯构件单筋矩形截面适筋梁的最大承载能力为截面的弯矩组合设计值Md较大即当γ0Md≥Mu时截面尺寸受到使用限制混凝土等级不宜提高应改用双筋矩形截面（在梁截面受压区配置钢筋来协助混凝土承担压力，将减小到，这样梁破坏时受拉钢筋屈服时，受压区混凝土不至于过早被压碎）通常，采用受压钢筋来爱承受截面的部分压力是不经济的。但是，受压钢筋的存在可以提高截面的延性并可以减少长期荷载作用下受弯构件的变形。受弯构件一般按单筋设计，以下情形需按双筋梁设计：3.5.1受压钢筋的应力bh0h箍筋防止钢筋纵向凸出《桥规》9.3.13条——箍筋要做成封闭式的，以免纵向钢筋被压曲，引起保护层混凝土剥落。试验研究破坏规律计算假定基本公式箍筋设置

为了能有效的利用受压钢筋，《桥规》规定：双筋梁的受压区高度不可太小，x≥2as’

as’—受压钢筋的形心到受压边缘的距离。一、受压钢筋的应力变化当为什么规定x≥2as’？桥规取对R235钢筋，对HRB335、HRB400、KL400级钢筋，∴则不能保证屈服。当时各型号钢筋都受压屈服，受压钢筋应力应变3.5.2

基本公式'ash0as

AsT=fsdAsγ0Mdxb图3－27双筋矩形截面正截面承载力计算图式基本公式：（3—33）（3—34）（3—35）由截面上水平方向内力之和等于零的平衡条件，由截面上对受拉钢筋合力T作用点的力矩之和等于零的平衡条件由截面上对受压钢筋合力

作用点的力矩之和等于零的平衡条件（1）防止超筋脆性破坏（3式等价）（3—36）（3—20）3.5.3

(适用条件)（2）保证受压钢筋强度充分利用'ash0as

AsT=fsdAsγ0Mdxb图3－27双筋矩形截面正截面承载力计算图式双筋截面的配筋率一般都能大于最小配筋率，所以不必再计算（3—38）（3—35）三、计算方法（截面设计、截面复核）（一）截面设计（一般分两类计算情况）情况一：已知弯矩设计值M，截面b、h，材料强度fsd、fsd’、fcd

求：截面配筋As和A’s未知数：x、As、

As’分析：（3—33）（3—34）（3—35）步骤（1）假设（2）先验算是否需要设计成双筋，按单筋适筋梁的最大承载力为：取代入（3-14）（3—39）则可按双筋设计。（3）求A’s处理原则：充分利用受压区砼的强度，使（As+A’s)＝最小。即：应取x=ξbh0即（ξ=ξb）目的：为充分发挥砼的抗压强度和钢筋的抗拉强度，取x=ξbh0求得单筋截面所能承受的最大弯矩，对超出部分的弯矩值，再由受压钢筋和相应增加的受拉钢筋承担。x有了，未知数降为2个！

由（3—34）得到A’s（4）将x、A’s带入（3—33）式得到As（5）分别选择截面受压钢筋于受拉钢筋的直径及根数，并进行截面钢筋布置。（3—33）（3—34）（3—35）情况二已知：Md，b、h，fsd、f’sd、fcd、A’s

求：As未知数：x、As步骤：（1）假设(2)求x值未知数2个，可直接从基本公式（3—34）得出：（3—33）（3—34）（3—35）（3）应按第一种情况重新计算A’s。（5）选择受拉钢筋直径、根数，布置截面。（3—33）（3—34）（3—35）当x＜ξbh0，且时，可由式（3-38）求得（3—38）（二）截面复核已知：b、h、As、As’

、fsd、fsd’、fcd，截面布置求：Mu≥M？未知数：x和Mu两个未知数，可直接解。步骤：1、复核构造2、由（3—33）式计算受压区高度x3、当x＜ξbh0，且，由式（3-38）求得考虑受压钢筋部分作用的正截面承载力Mu。4、当＜x＜ξbh0时，可由式（3-34）或（3-35）求得双筋矩形截面抗弯承载力Mu。按双筋矩形四、例题——双筋截面配筋计算及复核(3-34)(3-33)（3-34）（3-38）（3—33）（3-34）可得拉（3—33）（3-34）可得§5T形截面受弯构件定义：截面形状为T形的受弯构件。思考：为什么要采用T形截面?T形截面的计算方法是否与矩形截面相同？和T形截面计算方法相同的截面形式还有哪几种？1、T形截面特点跨越能力强，是公路桥梁常用截面形式。在此基础上发展出了T、工、I、箱形、空心板、槽形等截面形式。挖去部分中性轴节约混凝土，自重轻一、基本概念翼缘（翼板）肋（腹板）2、截面几何参数受压翼缘越大，对截面受弯越有利（x减小，内力臂增大）翼缘处的压应力与腹板处受压区压应力相比，存在滞后现象，随距腹板距离越远，滞后程度越大，受压翼缘压应力的分布是不均匀的。但试验和理论分析均表明，整个受压翼缘混凝土的压应力增长并不是同步的。xh03、受压翼板的计算宽度确定：计算上为简化采用有效翼缘宽度bf’，即认为在bf’范围内压应力为均匀分布，bf’范围以外部分的翼缘则不考虑。有效翼缘宽度也称为翼缘计算宽度，它与翼缘厚度h’f

、梁的跨度l0、受力情况(单独梁、整浇肋形楼盖梁)等因素有关。《桥规》第4.2.2条：《桥规》第9.3.3条：4、T形截面的构造规定二、基本公式及适用条件1、第一类T形截面计算方法与宽度等于bf’的单筋矩形截面相同特点：中性轴通过翼缘，受压区形状为矩形′（3—40）（3—41）（3—42）′ashh0bbf′

hf

xh0-x/2①为防止超筋破坏

x≤xbh0≤hf′。对第一类T形截面，该适用条件一般能满足。②为防止少筋脆性破坏

As≥rminbh0或ρ≥ρmin，适用条件：三、第一类T形截面计算方法（一）截面设计已知：截面尺寸、材料强度等级、弯矩M＝γ0Md

求：As=?步骤：

1、假设as。焊接骨架，as=30mm+(0.07～0.1h)

h0=h-as2、判断T梁类型。

若满足

则说明受压区高度x≤h’f，是第一类T形截面；反之是第二类T形截面。（3—45）（3—14）3、若是第一类T形截面，计算方法同单筋矩形截面（b’f×h)，由（3—41）式求出x，再由（3—40）式求出As。4、选择钢筋直径和根数，按构造要求布置。（3—40）（3—41）（3—42）例题(3—45)(3—41)(3—40)2、第二类T形截面特点：中和轴通过梁肋，受压区形状为T形。基本公式：（分块累加法）=+xAs1As2T1=fsdAs1Mu1xh0fcdAs1h0basxT2=fsdAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mu2h0fcd+或细化为：（3—44）（3—43）适用条件：②为防止少筋脆