第2章稳态导热

第二章稳态热传导2.1导热基本定律-傅里叶定律2.2导热问题的数学描写2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的一维导热问题2.6多维稳态导热问题的求解传热学张克舫2.1导热基本定律-傅里叶定律2.1.1各类物体的导热机理2.1.2温度场2.1.3导热基本定律2.1.4导热系数返回传热学张克舫2.1.1各类物体的导热机理气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运动的动能更大

返回固体：

对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导体也是热的良导体对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的2.1.2温度场一、温度场定义 也称温度分布，是各个时刻物体中由各点温度所组成的集合。一般情况下，物体的温度场是空间坐标和时间的函数，即等温面（等温线）：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。三、温度场表示按温度场是否随时间变化，分为稳态和非稳态温度场非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热按影响温度场的空间维数的不同，分为一维、二维和三维温度场二、温度场分类反映导热热流量和导热体温度分布关系的公式是法国科学家傅里叶提出的，故称为傅里叶定律。它是一个实验定律，和热力学第一定律一起构成了采用理论分析方法求解导热问题的理论基础。热流密度是矢量，描述某点热流密度矢量的傅里叶定律一般形式为：傅里叶定律说明，在导热过程中，单位时间内通过导热体内某处的热流密度矢量，方向与该处温度梯度方向相反，数值大小正比于该处沿法线方向的温度变化率是过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高方向，它与该点温度梯度矢量方向相同（温度升高最剧烈方向可用温度梯度向量表示）。2.1.3导热基本定律在直角坐标系中，温度梯度矢量可以表示为：i,j,k分别为直角坐标系三个坐标轴方向的单位向量在直角坐标系中，傅里叶定律的矢量形式可以表示为：在一维情况下，傅里叶导热定律可以写成：傅里叶定律适用范围：除了对温度极低（接近0K）、传热时间极短（与材料本身的固有时间尺度接近）、导热体的空间尺度极小（与微观粒子的平均自由行程接近）的情况不能使用外，对其它导热问题均能使用。不管导热体的形状、是否稳态、是否有内热源等。这也是傅里叶定律称为导热基本定律的原因。2.1.4导热系数导热系数是材料的固有属性，即物性。其大小取决于材料的种类和温度。除各向异性材料外，与材料的形状大小等几何因素无关。记住20℃几种典型材料的导热系数量级，单位：W/(m.℃)纯铜：碳钢：水：粘土实心砖：干空气：保温材料：《GB/T4272-92设备及管道保温技术通则》规定W/(m.℃)温度<=350℃时常用保温材料：矿渣棉、硅藻土、岩棉板、岩棉玻璃布、膨胀珍珠岩。保温材料一般是多孔材料，应注意防水并且保持高的蓬松性返回导热系数大小的定性比较：8(1)λ金属

λ非金属(2)λ纯金属

λ其合金合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动。导电性能好的金属,其导热性能也好。(3）同种物质,

λ固

λ液

λ气（4）同种物质,

λ湿

λ干（5）同种物质,

λ实心

λ多孔9

（6）一般地,所有物质的导热系数都是温度的函数。温度范围变化不大时,绝大多数材料的热导率可以近似地认为随温度线性变化,表示为热导率λ与温度t

的关系

温度对导热系数的影响

思考题：分析双层玻璃、潮湿被子、空心砖的保温特性传热学张克舫2.2导热问题的数学描写2.2.1导热微分方程2.2.2定解条件2.2.3热扩散率的物理意义2.2.4导热微分方程的适用范围返回传热学张克舫2.2.1导热微分方程确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:112、推导基本方法：傅里叶定律+能量守恒定律1、假设：物质是均质且各向同性；比热容和密度为常数；物体中进行纯导热；物体内具有均匀的内热源，内热原强度[W/m3]。一、直角坐标中的导热微分方程式在导热体中取一微元体进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量=微元体内储存能的增加12

d时间段内：沿x轴方向、经x表面导入的能量13沿x轴方向、经x+dx表面导出的能量：对Φx+dx在x的dx邻域内作泰勒级数展开，可以得到同理

整理得到：导热微分方程式、导热过程的能量方程1、如为常数，则有：称为热扩散率或导温系数式中，二、导热微分方程的简化2、常导热系数且无内热源

4、常物性稳态且无内热源3、常物性且稳态:5、一维稳态常物性且无内热源三、其它正交坐标系下的形式柱坐标系:球坐标系:返回17导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热过程的共性，是通用表达式。完整数学描述：导热微分方程+定解条件2.2.2定解条件定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件初始条件：初始时刻的状态表示为：

=0，t=f(x,y,z)边界条件：给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用

（１）第一类边界条件：直接给出了导热物体在边界上的温度最简单的第一类边界条件是边界上的温度保持恒定不变，即18

（2）第二类边界条件：给出了导热物体在边界上的热流密度分布如果边界面上的热流密度保持为常数，则当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件

（3）第三类边界条件给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之间的换热状况。

根据能量守恒，有：

热扩散率越大，说明物体导热能力越强，而物体蓄热能力越小，因此物体内部温度扯平的能力越大。a越大，材料中温度变化传播越迅速，因此a是反映材料传播温度变化能力大小的一个物性指标，也称导温系数2.2.3热扩散率的物理意义返回2.2.4导热微分方程的适用范围导热微分方程和傅里叶定律的适用范围基本一致，对超低温、超极速及微尺度传热不能适用。本书中的导热微分方程对于木材、石墨等各向异性材料不能适用。一般我们工程上遇到的各向同性连续介质导热问题导热微分方程均适用2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.3.1通过平壁的导热2.3.2通过圆筒壁的导热2.3.3通过球壳的导热2.3.4带第二、三类边界条件的一维稳态导热问题2.3.5变截面或变导热系数的一维问题

例题讲解返回传热学张克舫求解导热问题的一般步骤确定导热问题的类型（物理描述）导热问题类型一般从六个方面来确定：坐标系类型、维数、稳态或非稳态、是否常物性、是否有内热源、边界条件类型建立导热问题的数学模型（数学描述）对导热微分方程根据导热问题的具体类型进行简化从而得到导热控制方程，写出单值性条件（初始条件和边界条件）数学模型求解（解常微分或偏微分方程）利用数学方法求解导热问题数学模型，得到导热体内温度分布；根据傅里叶定律进一步根据得到的温度分布求出通过导热体的热流量对求解结果进行有关分析讨论22厚的大平壁，无内热源，两侧温度不同且分别均匀并保持不变，一维稳态导热。大平壁的一维稳态导热研究平壁导热的基本任务是：

（1）计算通过平壁的导热量Φ（2）确定平壁内的温度分布

t=f(x)

2.3.1通过平壁的导热一、通过单层平壁的导热问题1、问题物理描述：直角坐标系一维、稳态、常物性、无内热源、第一类边界条件２、问题数学描述控制方程：边界条件：3、模型求解：热流密度为：（温度分布为线性变化）导热体中热流量与位置x无关方程积分两次得通解：代入边界条件得积分常数值：导热体内温度分布为：通过导热体热流量：25二、多层平壁三层平壁的稳态导热房屋的墙壁—白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成。多层平壁：由几层不同材料组成。假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等1.如何计算层间的壁温tw2、tw3？2.多层平壁的温度分布形状？3.哪层温度变化平缓？

三、边界条件为第二、三类边界条件的问题如果没有内热源，上述问题其实就是一个传热过程的问题，可以用热阻分析法来求解。如果有内热源，则应当重新建立和求解数学模型，2.5节有相应例题27若导热系数λ

=f(t)，如四、变导热系数λm为平壁平均导热系数，

28解：通过平底锅的导热可看作是无限大平壁的一维稳态导热。

结垢前，只有一层铝锅底，导热热流密度为结垢后，锅底的内外表面分别结有水垢和烟炱，热流密度为结垢前后热流密度之比为

例题用厚1.5mm的平底铝锅烧水，锅底的内、外表面分别结了一层0.2mm厚的水垢和0.1mm厚的烟炱。若温差不变，试问锅底结垢后的导热量变化了多少？已知铝、水垢和烟炱的导热系数分别为λ=200W/(mK)、λ1=1.5W/(mK)和λ2=0.1W/(mK)。

29管长度为l，圆管内、外壁面温度分别维持均匀恒定，圆筒壁的外半径小于长度的1/10，近似为一维稳态导热。圆筒壁的稳态导热2.3.2通过圆筒壁的导热一、通过单层圆筒壁的导热问题1、问题物理描述 柱坐标系下的一维、稳态、常物性、无内热源、第一类边条导热问题2、问题数学描述控制方程：边界条件：故温度分布:3、模型求解：代入边界条件解得：思考：t1大于t2和t1小于t2两种情形的温度分布曲线形状有何不同？方程积分两次得:圆筒壁内的温度分布为对数函数关系变化计算公式:热流量可以用Fourier定律对任意半径处求解得到:长l的圆筒壁的导热热阻33单位管长的热流量，记作ql，单位W/m显然，温度呈对数曲线分布圆筒壁内温度分布曲线的形状？圆筒壁的稳态导热34由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量为

多层圆筒壁的稳态导热

二、通过多层圆筒壁的导热问题三、边界条件为第二、三类边界条件的问题如果没有内热源，上述问题其实就是一个传热过程的问题。如果有内热源，则应当重新建立和求解数学模型，2.5节有相应例题控制方程：边界条件：四、变导热系数无内热源的多层圆筒壁导热当导热系数是温度的线性函数时，如果要求热流量，只要取计算区域平均温度下的导热系数值作为常导热系数时热流量计算公式中的导热系数，能得到的热流量计算结果是精确的。返回2.3.3通过球壳的导热一、问题物理描述球坐标系下一维、稳态、常物性、无内热源、第一类边条导热问题二、问题数学描述：控制方程：边界条件：温度分布:三、模型求解结果：热流量:导热热阻:返回2.3.4带第二类、第三类边界条件的一维稳态导热问题方法前面已介绍，教材中内容自己学习。如无内热源，则也可采用热阻分析法来求解热流量。返回前面的例子都是按照分析法求解导热问题的一般步骤来进行求解的对于沿导热方向热流量为常数的一维稳态无内热源导热问题，也可以不从导热微分方程简化得到控制方程，而直接根据热力学第一定律和傅里叶定律建立问题的控制方程；然后，不用求解温度分布，直接分离变量积分得出热流量大小。该方法(积分傅里叶定律)对于变导热系数问题及沿导热方向导热面积变化的问题非常有效。（用常规方法求解这两类问题时比较麻烦）注意：一维导热问题的核心是导热体内温度仅沿一个坐标轴方向变化，而不用考虑是否几何形状是否为一维2.3.5变截面或变导热系数的一维问题一、问题物理描述：二、问题数学描述：三、模型求解：采用分离变量法积分得到：变截面积一维、稳态、变物性、无内热源、第一类边条导热问题四、对于导热面积不变的变导热系数问题：当导热系数是温度函数时，如果要求热流量，只要取计算区域平均导热系数值作为常导热系数时热流量计算公式中的导热系数，得到的热流量计算结果是精确的。当导热系数是温度的线性函数时，计算区域平均导热系数容易得出。先求出计算区域的算术平均温度，然后以该温度得出的导热系数便为计算区域的平均导热系数思考：对于导热面积不变的变导热系数问题，如何求解导热体内温度分布？如何定性分析导热体内温度分布（设t1>t2）？b>0时，温度曲线上凸b=0时，温度曲线为直线b<0时，温度曲线下凹思考：如何得出导热体内的温度分布规律？如何定性分布导热体内的温度分布规律？五、对于导热面积变化的常导热系数问题：如果已知A(x)的函数关系，则通过积分可以得出热流量大小返回返回2.4通过肋片的导热肋片是依附于基础表面上的扩展表面，其作用是增加对流传热的面积。计算肋片对流传热量的关键是确定肋片高度方向的温度分布，因此肋片的计算属于导热问题研究范畴2.4.1通过等截面直肋的导热2.4.2肋效率与肋面总效率一、问题物理描述已知条件：肋片的高度H、厚度δ和宽度L；周围流体温度t∞及肋片与周围流体的表面传热系数h；肋片根部温度t0（设t0>t∞）。求取：肋片内的温度分布及肋片与周围流体的对流传热量2.4.1通过等截面直肋的导热导热体内温度不随时间变化，即稳态在任一肋片截面上沿宽度和厚度方向温度认为均匀，肋片内温度仅沿高度方向变化，即为一维导热问题材料的导热系数、表面传热系数及沿肋高方向截面积均为常数肋片顶端可视为绝热在肋片高度方向上取一微元体，在单位时间内对该微元体进行热平衡分析。二、问题数学描述由于肋片的侧面与周围流体进行对流传热，故与一般的一维导热问题控制方程推导方法有所不同。两种办法解决：一是直接根据热平衡和傅里叶定律建立肋片导热的控制方程；二是将肋片侧面的对流传热用一个假想的内热源来代替。我们用第一种方法来推导，教材采用了第二种方法，自己阅读。x处导入热量-(x+dx)处导出热量-控制体侧面对流散热量=控制体热力学能增量x处导入热量:控制体热力学能增量:0x+dx处导出热量:代入热平衡方程得微分方程：控制体侧面对流散热量：x处导入热量-(x+dx)处导出热量-控制体侧面对流散热量=控制体热力学能增量该方程为二阶非齐次常微分方程，为转变为齐次方程，引入过余温度边界条件:并令：得到控制方程：方程通解:代入边界条件，得到积分常数:三、分析求解肋片中的温度分布为:肋片散热量:肋片散热量方法可采用不同的方法，结果相同肋片内温度分布:上述肋片内温度分布及散热量结果对于t0<t∞的情况也完全适用。当肋端为第三类边界条件时，边界条件变为:仍按照肋端绝热公式计算肋片散热量，但用一个折合的肋片高度来取代实际的肋片高度。肋片折合高度为：可以采用与肋端为绝热边界条件时类似的方法来计算肋片散热量。另外一种工程上采用的近似处理方法如下：该方法思想是认为肋端仍然绝热，而把肋端的散热量折合到肋片侧面四、考虑肋端散热时肋片散热量的计算五、解的应用如何减小测温套筒的测量误差根据公式：要想减少测温误差，即减少(tH-tf)，应降低(t0-tf)，同时加大ch(mH)。1、增加t0，可以降低(t0-tf)2、双曲余弦是递增函数，因此应当加大m和H

加大m，可以通过降低导热系数和测温套筒截面积(厚度），以及加大h和P来实现返回2.4.2肋效率肋效率定义：肋片的实际散热量可以表示为:对于截面形状比较复杂的肋片，其肋效率计算结果已经被整理为线算图，如教材中图2-19、2-20所示。根据肋片的有关几何及工作条件可以查得肋片效率，从而计算出肋片散热量从图中可知，肋片越高，肋效率越低。这说明材料的利用效率随肋高的增加而降低。因此，一般肋片不能太长返回2.5具有内热源的一维导热问题2.5.1具有内热源的平板导热2.5.2具有内热源的圆柱体导热返回2.5.1具有内热源的平板导热直角坐标系下一维、稳态、常物性、有内热源，两侧为第三类边界条件。由于对称性，可只取一半导热体进行分析，