第一章引力场论xiu

第一章引力场§

1.1万有引力定律与引力场强度1、万有引力定律万有引力定律表述式k是引力常数，其值为

Z

万有引力定律表明，两个质点间的作用力大小与质点质量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。

两质点之间的作用力符合牛顿第三定律。

万有引力定律只能直接用于质点。所谓质点，是指当物体的线度远小于它们之间的距离时，将其质量集中于一点的理想化模型。两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上.力不能离开物体单独存在。2、引力场强度

用引力场强度来描述引力场。定义：场中某点的场强度等于一单位质点在该处所受到的力。

特点：仅是坐标函数，与试探质点（质量很少，几何尺度很小）无关。由万有引力定律，在点质量m的场中与m相距r处，试探质点受到的引力为3、点质量场强度注：力不是质点本身而是它们的场的作用。（用场的观念去理解）4、场强叠加原理对于离散的质点系，由场强叠加原理有对于体分布的质量，可将其视为一系列质点的叠加，把质量体积V分成无数个dv，则(1)观察点P在质量体外对整个体积积分得思考：场强在X,Y,Z三轴上投影Fx，Fy，Fz分别为什么？(2)观察点P在质量体内或边界上P点周围一变域V0，径度为去除奇点后V-V0则为P点外域，则场强度用旁义（广义）积分定义：可以证明若为连续函数，上式为一收敛性之旁义积分。结论：无论P点在质量分布区以外或以内，只要为一连续函数，P点的场强总可以用寻常积分或由旁义积分来表示，而旁义积分的极限值完全和寻常积分相同。同理，面质量产生的引力场强度为5、引力场分布的几何描述——引力场线引力场线方程(力线上的线元应该平行)引力场线分布★例1求薄球壳的场强§

1.2引力场第一基本定律（场强度的通量和散度）1、质点的场强通量

场强度F的通量是这样规定的，等于场强度的法线分量面积分

将一点质量的场强度公式代入上式，即得规定立体角的正负号如下：如果从角点看到的是ds的内侧，则为正，相反为负。立体角质点的场强通量当S为一闭合面时：

这就是引力场强第一定律（高斯定理），其含义为场强矢量F

对于任意一闭合面S的通量S等于S所包围质量的倍。2、任意分布质量场强通量其中一组质点体分布质量代入高斯定理得3、引力场的散度散度的定义所以引力场场强的散度根据散度定理：结论：场中每一点上场强度散度只与该点质量密度成比例，引力场场源点在场强散度不为零之处。§

1.3引力场第二基本定律（场强度的环流和旋度）1、场力所作的功对于单位质量，场力作的功为当移动路径为L

对一质点m的场来说2、功与路径无关因为式中rA、rB分别表示点质量m到路径L的起点A和终点B的距离。结论：该式表明点质量沿任意路径在引力场中作的功与路径的起点和终点位置有关，而与路径的形状无关。引力场的场强度的环流等于零，这就是引力场第二定律。引力场第二定律实质上是能量守恒定律在引力场的特殊形式。3、场强度的环流由斯托克斯定理得

式中S是以回路L为周界的任意曲面。4、场强度的旋度引力场的旋度等于零，即引力场是无旋的场。5、引力场的基本方程引力场是无旋的场引力场是有散的场，产生引力场的源是质量§

1.4引力场的势及梯度1、势的定义或选取无穷远处为势为零场中任意P点的势等于将一单位质量从无限远处移至P点时场力所作的功。势的特点：A、势的单值性B、势的相对性将点质量的场强代入势的定义中，即得点质量m的场中任一点P点的势2、点质量的势或对于一质点组而言，场中任一P点的势3、体质量分布的势P点在质量分布区域外P点在质量分布区域内旁义积分（收敛）当B无限靠近A时，此增量可写成一微分4、势的梯度与场强度的关系

在直角坐标系中，场强度沿坐标轴的三分量应为

根据梯度定义

根据全微分定义我们有

引力场中任一点的场强F等于该点的势的梯度

5、等势面

凡势之值相等的各点所构成的曲面称为等势面。

即等势面上任意两点间的势差为零。

而

所以在任意点的F恒与通过该点的等势面垂直，即力线与等势面正交。

所以

例题求一点质量场的等势面

设点质量位于直角坐标系原点（0，0，0），则它在任意点P(x,y,z)的势：

等势面时其方程为

因而等势面的方程式为表示球心位于原点的球面方程式，因此点质量周围场中的等势面为以该质点为中心的球面。§

1.5引力场场强通过面分布的连续性或F1F21、引力场场强法向分量的连续条件

在面质量两边相邻两点上的场强矢量F的法线分量发生一突变，其值等于面质量密度的引力场法向分量的边界条件用引力势可表示为或2、引力场场强度切向分量的连续条件即此式表明：在任意曲面质量两侧，引力场场强度的切向分量是连续的。

★例2一均匀圆薄板的场强和势，面质量密度为§

1.6泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程因为而所以

若讨论的区域ρ=0（没有质量分布），则泊松方程变为拉普拉斯方程

在直角坐标系中，

泊松方程2、引力场的边值问题A、正演问题：已知体密度和面密度时，可根据边界条件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势，进而求出场强。B、反演问题：已知场的势或场强时，可根据泊松方程来确定场中某点的体质量密度及面质量密度。正演和反演是地球物理理论研究两大核心内容3、唯一性定理：如果在空间中某一区域v内，各点的质量密度和该区域边界面S上各点的势为已知时，那么这个区域内由泊松方程求解的势是唯一的证明（反证法）：假设满足上述条件的解不是唯一的，而是有两组解U1和U2,只要证明U1=U2即可。设区域内解不唯一为U1和U2,U’=U1-U2,U1和U2都满足泊松方程，则设因为U,V是任意函数，设U=V=U’在S面上为已知值，且已知值只有一个，所以S面上U’=U1-U2=0当点由任意方向趋向S面时，U’=c=U’边界=0如果在空间中某一区域v内，各点的质量密度和该区域边界面S上各点的场强度为已知时，那么这个区域内由泊松方程求解的场强度是唯一的，但势可以相差任一常数S面上场强度为已知，则V内地球物理反演具有多解性?例、用泊松方程（拉普拉斯方程）求解均匀质量球体的场

解：由于质量分布是球对称，势只与离开O点的距离r有关，即U=U(r)。引入球坐标系，则§

1.7重力场1、重力及重力场的概念

地球的重力主要是由地球内部质量的万有引力和因地球自转所引起的离心力二者所决定：即

即：由于离心力的存在，重力一般不指向地心。重力概念中包含了试验质量m的因素，消除m的影响可得重力场强度：重力场强度等于物体受重力产生的重力加速度，其中第一项为引力加速度，第二项为离心力加速度，即

即：重力场强度的变化可以分为在空间上的变化和在时间上的变化。重力在空间上的变化主要表现为：地球不是一个正球体，而是一个近似于两极压缩的扁球体，而且地表又是起伏不平的，这将引起约6万g.u的重力场强度变化（两极引力大，赤道引力小）；地球的自转也能使重力产生3.4万g.u的变化（两极离心力小，赤道离心力大）；地下物质密度分布不均匀可产生几千g.u的重力变化。重力勘探正是利用地下物质分布不均匀这一因素所引起的重力变化，来研究地质构造和达到勘探矿产资源的目的。重力在时间上的变化可以分为短周期变化和长周期变化两种。短周期变化主要指重力日变。地面上的一点受到太阳，月亮的引力作用，由于地球的自转，地表各点与日月的相对位置不断改变，日月对这些点的引力的变化引起重力的变化，这种变化不仅可以造成海洋潮汐，还可以引起地壳形变，既所谓的“固体潮”，固体潮使大地水准面发生位移，这种位移也造成重力的变化。这两种变化的周期均为一天，其总和