第20章贝塞尔函数柱函数

在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．第二十章贝塞尔函数柱函数

通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．

贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．20.1贝塞尔方程及其解20.1.1贝塞尔方程

拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题

（20.1.1）

其中为已知正数，为已知函数．

这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）设

对泛定方程分离变量（取）得

（20.1.2）（20.1.3）再令

，得到

(20.1.4)

（20.1.5）

令

于是(20.1.5)得到

（20.1.6）边界条件为方程（20.1.6）称为阶贝塞尔微分方程．这里和可以为任意数．20.1.2

贝塞尔方程的解通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：

（1）当整数时，贝塞尔方程(20.1.6)的通解为

（20.1.7）

其中

为任意常数，

定义为阶第一类贝塞尔函数

但是当

整数时，有

故上述解中的

与是线性相关的，所以(20.1.7)成为通解必须是整数.

（2）当取任意值时：定义第二类贝塞尔函数，这样贝塞尔方程的通解可表示为

（20.1.8）

(3)当取任意值时：由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数

，又称为汉克尔函数．

（20.1.9）

分别将称为第一种和第二种汉克尔函数．

于是贝塞尔方程的通解又可以表示为

（20.1.10）

最后，总结阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：

（i）整数）

（ii）可以取任意数）

（iii）可以取任意数）

20.2三类贝塞尔函数的表示式及性质20.2.1第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数的级数表示式为

（20.2.1）式中

是伽马函数．满足关系

当为正整数或零时，当取整数时

所以当

整数时，上述的级数实际上是从的项开始，即

(20.2.2)而

(20.2.3)所以

（20.2.4）同理可证

（20.2.5）

因此有重要关系

（20.2.6）可得几个典型的贝塞尔函数表示式

当x很小时，保留级数中前几项，可得

（20.2.7）

特别是

(20.2.8)当x很大时

（20.2.9）例20.2.1试证半奇阶贝塞尔函数证明：由公式(20.2.1)有

而

故

同理可证

20.3贝塞尔函数的基本性质20.3.1贝塞尔函数的递推公式

由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出

(20.3.1)

(20.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式.

诺伊曼函数和汉克尔函数也应该满足上述递推关系

若用代表阶的第一或第二或第三类函数,总是有

(20.3.3)

(20.3.4)把两式左端展开,又可改写为

(20.3.5)

(20.3.6)从(20.3.5)和(20.3.6)消去或消去可得

即为从和推算的递推公式.上式也可以写成为

（20.3.7）

（20.3.8）

任一满足一组递推关系的函数统称为柱函数

例20.3.1

证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（20.3.7）和（20.3.8）这一组递推公式来进行证明：将(20.3.7)与（20.3.8）相加或相减消去或分别得到

(20.3.9)

（20.3.10）将(20.3.9)式中的换成，得到

（20.3.11）将（20.3.10）代入上式，立即得到

满足阶贝塞尔方程．例20.3.2求

【解】根据公式(20.3.8)

有

例20.3.3证明下式成立

(20.3.17)特别是

(20.3.18)【证明】利用递推公式(20.3.2)即

，令则两边积分，故得到其中取，即为（22.3.18）式。20.3.2贝塞尔函数与本征问题

拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程(14.6.7)即

（20.3.19）

在自然周期边界条件下，取整数，其它情况下可取任意复数

对另一本征值分三种情况：，和进行讨论：

（１）．方程（20.3.19）是欧拉方程；

（２）．作代换

，则得到

（20.3.21）

即为阶贝塞尔(Bessel)方程．（３）．记，以代入，并作代换则方程化为

(20.3.22)

这叫作虚宗量贝塞尔方程．如把贝塞尔方程（20.3.22）的宗量改成虚数，就

成了方程（20.3.21）

贝塞尔方程本征值问题（即本征值的情况）：

1.第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题

(20.3.23)根据圆柱的周期性边界条件，则方程（20.3.23）中的

上述方程(20.3.23)可进一步化为施—刘型本征值问题的形式

(20.3.24)

相应于施－刘型方程中的

故施－刘型本征值问题的结论对于贝塞尔方程的本征值问题也成立．贝塞尔方程(20.3.24)的通解为

(20.3.25)

若用表征的第个正根，于是本征值

(20.3.26)代入边界条件决定本征值及本征函数．因为故又，要，则必须则就是决定本征值的方程.施－刘型本征值问题的结论

(1)本征值存在，且都是非负的实数；(2)本征值可编成单调递增的序列本征值即(20.3.27)本征函数(20.3.28)（3）对于每一个本征值

有一个相应的本征函数

且本征函数在区间上有个零点

若在区间

（4）即，则贝塞尔函数有无穷个零点．的零点与的零点是彼此相间分布的，即的任意两个相邻零点之间必有且仅有一个的零点

（5）以

(6)零点还可以用下面的公式计算表示的第n个正零点，则，即几乎是以为周期的周期函数．其中

2.第二类齐次边界条件

这个条件就是（20.3.30）对于

不过，

，则本征值

(20.3.31)其中是的第个零点.的零点在一般的数学用表中并未列出.的特例还是容易得到的：由公式(20.3.12)得到这样，

至于

的零点不过就是的零点，可从许多数学用表中查出．的情况,的零点可以利用递推公式(20.3.8)这样的零点可从曲线和的交点得出．对于

其中的情况,的零点还可以用下面的公式计算：＝

这个条件就是

(3)第三类齐次边界条件记并引用（20.3.5）可将上式改写为

，其中

所以本征值是方程（20.3.33）的第N个根

20.3.3贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的本征函数分别满足将(20.3.34)乘以

,将(20.3.35)乘以(20.3.34)（20.3.33）两式相减，再积分，利用分部积分法得到故当2．贝塞尔函数的模

(20.3.36)为了用贝塞尔函数作基进行广义傅立叶级数展开，需要先计算贝塞尔函数的模(20.3.37)注意

对于把记为记作=

(20.3.38)第一类齐次边界条件

则式（20.3.38）成为

(20.3.39)以（20.3.5）代入上式，并且考虑到第一类齐次边界条件

故得（20.3.40）第二类齐次边界条件

（20.3.38）成为

（20.3.41）第三类齐次边界条件

(20.3.38)成为（20.3.42）20.3.3广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族

是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间上的函数可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数（20.3.43）其中广义傅氏系数

(20.3.44)例20.3.4

在区间

上，以为基，把函数（常数）展开为傅里叶－贝塞尔级数.说明：

其中是本征函数对应的本征值.【解】根据(20.3.43)和(20.3.44)

则其中系数这里的

由第一类边界条件所对应的模公式(20.3.40)给出．本征值

而是0阶贝塞尔函数

的第个零点，可由贝塞尔函数表查出．这样令

，则故20.3.4贝塞尔函数的母函数

（生成函数）1.母函数（生成函数）考虑解析函数在

内的罗朗展式.注意

此处的为参变数，不是复变数的实部.， 对于固定的

，以上两级数在

内是可以相乘的，且可按任意方式并项．称

2.平面波用柱面波的形式展开(20.3.45)为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．式（20.3.45）

这公式是函数

的傅氏余弦展开式．

（20.3.46）当

（20.3.46）式可以理解为用柱面波来表示平面波，并可写为为实数时，在物理意义上,

3.加法公式利用母函数公式

比较两边的

4．贝塞尔函数的积分表达式项的系数，即得加法公式(20.3.49)利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到是围绕点的任意一条闭曲线．如果取

从而得到

为单位圆，则在上，有（20.3.50）其中积分式中的的项已被省去.因为在

20.4虚宗量贝塞尔方程上其积分为零．式(20.3.35)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式．时，有20.4.1虚宗量贝塞尔方程的解

在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的

虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程．分离变量方程，在的情况下，应满足虚宗量贝塞尔方程即为（20.3.22）式(20.4.1)若令，代入上方程得到贝塞尔方程形式

令(20.4.2)即可得到虚宗量贝塞尔方程(20.4.1)的解.定义虚宗量贝塞尔方程的解具有下列形式式中的引入是为了确保是实函数.利用的级数形式(20.2.1)(20.4.4)称为

讨论

阶第一类虚宗量贝塞尔函数.也称为第一类修正贝塞尔函数(1)当整数时，方程(20.4.1)的通解为

(20.4.5)为任意常数.(2)当取任意值时：由于任意值中可能包含整数.根据

线性相关因此要求方程(20.4.1)的通解，必须先求出与线性无关的另一特解.为此我们定义(20.4.6)为

又称为麦克唐纳(Macdonale)函数，

或第二类修正贝塞尔函数．

这样定义后，不管是否为整数，和一起总能构成虚宗量贝塞尔方程(20.4.1)的两个线性无关的通解．故得到当取任意值时球贝塞尔方程的通解为（

任意值）

其中是两任意常数．阶第二类虚宗量贝塞尔函数，

20.4.2第一类虚宗量贝塞尔函数的性质

由第一类虚宗量贝塞尔函数的级数形式（20.4.4）知

奇数为奇函数偶数为偶函数(20.4.8)（1）特殊值

所有的项都是正的．

（2）由级数表达式知，当是大于零的实数时，

没有实零点;(3)递推公式(20.4.9)

20.4.2第二类虚宗量贝塞尔函数的性质整数时的级数形式：

根据定义式(20.4.5)，给出当(20.4.10)是欧拉常数.递推公式：

(20.4.11)20.5球贝塞尔方程20.5.1.球贝塞尔方程用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得球贝塞尔方程(14.4.25)即

(20.5.1)称为阶球贝塞尔方程．

因为对于

把自变量

和函数分别换作和，令

则(20.5.2)即为（

）阶贝塞尔方程．而对于

，方程(20.5.1)即为

欧拉型方程,解为

20.5.2球贝塞尔方程的解

根据并贝塞尔方程(20.5.2）的解，可得球贝塞尔方程(20.5.1)的两个线性独立解为或再将它们每一个乘以

即得到下列定义：

(20.5.3)称之为球贝塞尔方程的解，并且称

第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数可定义为

为第一类球贝塞尔函数，为第二类球贝塞尔函数或球诺依曼函数．

(20.5.4)球贝塞尔方程的通解为或

(20.5.5)(20.5.6)其中为两个任意实数

20.5.3球贝塞尔函数的级数表示根据球贝塞尔函数的定义式和贝塞尔函数