电磁场与电磁波(第2章)

1.电场力、磁场力、洛伦兹力4.微分形式的麦克斯韦方程重点：第2章电场、磁场与麦克斯韦方程3.麦克斯韦方程的导出及意义2.

电磁场中的三种电流以及电流连续性原理7.电磁场的能量与坡印廷矢量5.积分形式的麦克斯韦方程6.时谐形式的麦克斯韦方程2.1电场力、磁场力与洛伦兹力1.电场力库仑定律适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中结论：电场力符合矢量叠加原理当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？库仑定律还可以换一种方式来阐述：假定电荷q=1C，于是电场力即为q1对单位电荷的作用力,我们将这个特定大小的电场力称为电场强度矢量由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。结论2.1例题1.两点电荷q1=8C位于z轴上z=4处，q2=-4C,位于y轴上y=4处，求(4,0,0)处的电场强度。2.－点+q电荷位于处（-a,0,0)，另－点电荷-2q位于（a,0,0)处，空间有没有电场强度E=0的点？2.磁场力当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。假定一个电荷q以速度在磁场中运动，则它所受到磁场力为这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度来描述。

3.洛伦兹力当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。即2.2由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程定义穿过一个单位有向面积dS的力线的条数为电通密度(electricfluxdensity)，用表示。在自由空间中，穿过有向面积S的电通量为根据高斯定律可得麦克斯韦第一方程：或2.2例题1.一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于x=0，阳极板位于x=d，极间电压为U0。如果U0=40V、d=1cm、横截面S=10cm2，求：（1）x=0和x=d区域内的总电荷量Q；（2）x=d/2和x=d区域内的总电荷量Q’。

2.3由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程法拉第电磁感应定律可得麦克斯韦第二方程：感应电动势闭合路径所包围的磁通根据斯托克斯定律2.4由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程磁通连续性原理可得麦克斯韦第三方程：穿过开表面积S的磁通根据高斯定律1.传导电流、运流电流和位移电流此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohm’slaw)，并且传导电流为自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成传导电流2.5由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程传导电流的电流密度与电场强度的关系为：

形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。电荷在无阻力空间作有规则运动而形成运流电流假设存在一个电荷体密度为的区域，在电场作用下，电荷以平均速度运动，则运动电荷垂直穿过面积S的运流电流为式中运流电流密度为通常，传导电流与运流电流并不同时存在。则穿过闭合面S的位移电流为：电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成位移电流作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知式中位移电流密度1.一个体密度为的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

2.5例题2.5例题2.在导体铜（εr=1,σ=5.8×107S/m)中某处，电场强度为E=ezEmcos(2п×1010t)计算该点的传导电流密度幅度和位移电流幅度之比；如果铜换为淡水（εr=81,σ=4S/m），重新计算传导电流密度幅度和位移电流密度幅度之比。2.电流连续性原理麦克斯韦假设，S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即于是可得此式称为电流连续性原理即

电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。其中称为全电流密度通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波的。或

解：忽略极板的边缘效应和感应电场位移电流密度位移电流例:已知平板电容器的面积为S,相距为d,介质的介电常数,极板间电压为u(t)。试求位移电流iD；传导电流iC与iD

的关系是什么?电场

传导电流与位移电流3.磁场强度与安培环路定律

静电场的环流为零稳恒磁场的环流如何呢？说明静电场是保守场；对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和环流。对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。安培环路定理与环路成右旋关系的电流取正。

在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度

沿任意闭合曲线的线积分（也称的环流）,等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的μ0倍。磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。①②讨论当电流呈体分布时③定义自由空间用磁场强度表示的磁通密度为

则安培环路定律可写成4.麦克斯韦第四方程在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即其中麦克斯韦第四方程由斯托克斯定律得即或2.6微分形式的麦克斯韦方程组将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组。或将电场与其场源——电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。第一方程表明了随时间变化的磁场会产生电场——这是法拉第电磁感应定律的微分形式。第二方程表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷——磁力线始终闭合。第三方程表明了产生磁场的源是电流或变化的电场——安培定律的另一种表现形式。第四方程2.7积分形式的麦克斯韦方程组根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。转化为其中引出了三个媒质特性方程以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面——电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化。2.8麦克斯韦方程的时谐形式时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time–harmonicfield）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。微分形式的时谐表示积分形式的时谐表示2.9电磁场的能量与坡印廷矢量电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。

由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流动速率来表示。麦克斯韦方程组如下两式相减，可得此式称为坡印廷定理

式中，令称其为坡印廷矢量上式可写成因为这一项可以看作是某一点上的单位体积能量的变化率，所以如果要上式中的纲量统一的话，则该式中所有的项必须都具有相同的意义，

用点乘方程（4）用点乘方程（2）因此，式中的另一项即为电磁