四川省2024年全国高中数学联赛（预赛）试题（解析版）

2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题（考试时间：2024年5月19日9:00~11:00）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设函数的零点都在区间内，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】求出在的导数，得到的单调区间，结合函数的奇偶性求出所有零点所在的区间，进而求出，的值，求出答案即可．【详解】，当时，，，∴fx在而，，时，在存在唯一零点，是偶函数，∴fx在递减，而，，时，在存在唯一零点，∴fx零点都在故当时，取最小值，且最小值为4故答案为：42.已知，若，则的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】由可求得，代入中变形后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，，解得或，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：3.已知函数，若f(x)在定义域内为增函数，则实数的最小值为___________【答案】1【解析】【分析】先求出导函数，要使在定义域(0,+∞)内为单调递增函数，只需在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，再利用基本不等式求出，所以，从而实数的最小值为1，【详解】解：∵函数，，.要使f(x)只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立.∵，当且仅当，即时等号成立，∴，即实数的最小值为1.故答案为：1.4.用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．【详解】如图所示，得到圆心；得到圆心；由于，所以两圆相离，因为为上的动点，，所以要使取得最大值，只需最大即可，因为，则的最大值为.故答案为：3.5.设中，，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和三角形面积得，再设，利用导数求出其最值即可.【详解】由正弦定理和已知条件得，则，所以，因为，即，则，即，结合，解得，设，则,有,令，解得，当，，此时在单调递增；当，，此时在单调递减；所以，所以面积的最大值为.故答案为：.6.将边长为1正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为______．【答案】【解析】【分析】补全正方体，该十面体的体积等于棱长为1的正方体的体积去掉四个三棱锥体积再加上四个四棱锥的体积，利用锥体的体积公式即可求解.【详解】如图作出原正方体，与，的交点分别为，，与的交点为，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为，则，所以，所以，设该十面体的体积为，.故答案：.7.若，则的末尾数字0的个数为______.【答案】3【解析】【分析】根据等比数列求和公式可得，然后利用二项式定理即可求解.【详解】由于，故，由于，由于，末尾有3个0，且大小远远超过1000，因此的末尾数字0的个数为3，故答案为：38.记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为______．（用具体数字作答）【答案】【解析】【分析】分类讨论并使用捆绑法求解.【详解】不妨设，对，如果，就在这两个数之间画一条红线；如果，就在这两个数之间画一条蓝线.显然，一个数不能同时引出两条线①如果总共有两条线，线在不考虑颜色的情况下的组合方式有3种，每种线都对应如下问题：在中取三个数，任意两个数之差大于6（如果两线均为红，；如果一红一蓝，；如果都是蓝，）这又等价于在中任取三个数，有种所以此时有种；②如果总共有一条线，线在不考虑颜色的情况下有4种可能，每种线都对应如下问题：在中取四个数，任意两个数之差大于6（如果是红线，；如果是蓝线，）这又等价于在中任取四个数，有种取法所以此时有种③如果没有线，那么就是在中取五个数，任意两个数之差大于6，这不可能.所以总共有种.故答案：717.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率．【答案】证明见解析【解析】【分析】设交点，由对数不等式得，根据和相加、相减得、，最后根据得求解即可.【详解】设，其中．由对数不等式：若，，则．取，，得．．．①将和相减，得，．②再将和相加，得．③注意到：时，由知，结合①、②、③，知，，即，解得．【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与椭圆相交的斜率问题，解题关键是根据对数不等式、重要不等式以及两点的斜率公式得不等式关系.10.设复数满足：．求的最小值．【答案】【解析】【分析】取为实数，利用柯西不等式求出最小值，再就复数，利用反证法，结合空间向量推理论证最小值为.【详解】一方面，当均为实数时，，即，当且仅当时取等号，则当或时，；另一方面，下证：，由于旋转同一个角度，已知和结论不变，因此，不妨设为实数，设，，，其中，则条件变为：，且，①待证式变为：，即，因此，只需证明：，②（反证法）假设结论不成立，即，从而，在空间直角坐标系中，设O0,0,0，，，，则，，由，得，记在面上的投影为，则，因此，这里为向量与的夹角，类似得，，于是，这与，矛盾，则假设不成立，即有成立，所以的最小值为.11.给定正整数，数组称为“好数组”是指：均不为，且对任意的，均有．求“好数组”的组数．【答案】组数为【解析】【分析】先利用数学归纳法证明引理1，引理2，即可得，即可化简求解.【详解】引理1：对任意正整数，若时，则，且和同奇偶；若时，则，且和不同奇偶．引理1的证明：对进行归纳．当时，由知结论成立；当时，注意到或者，从而结论也成立．假设结论对时成立，下面考虑：情形1：若．由归纳假设知，，且和同奇偶，于是和不同奇偶．由或者，知，且和同奇偶；或者，且和不同奇偶．情形2：若．由归纳假设知，，且和不同奇偶，于是和同奇偶．由或者，知，且和不同奇偶；或者，且和同奇偶．因此，结论对也成立．由归纳原理知，对任意的正整数，结论均成立．引理1得证．记为中的数组的个数，注意．约定，由题可知．（注意由引理1可知是偶数时是奇数时，所以上式对成立．）引理2：对任意正整数，有，①这里，且，②这里，注意这里的．补充定义．注意①蕴含着，这和题意一致．引理2的证明：对进行归纳，当时，对①：或1，注意到：，；对②：，注意到：．从而时，结论①、②成立．当时，对①：或1，注意到：，；对②：，注意到：．从而时，结论①、②成立．假设结论①、②对时成立，考察的情形：对于①，分情况讨论：对任意，（1-1）．易知，此时结论①成立．（1-2）对任意，注意此时，，（1-3），此时，成立．所以结论①对任意