第1章逻辑代数基础周开利版

2023/2/6第1章逻辑代数基础2023/2/6本章要点

数字电路以二进制信号作为其基本工作信号，与逻辑代数以0、1表示真假刚好一致，从而逻辑代数成为数字电路分析和设计的重要工具。本章主要讲述逻辑代数的基本概念、基本逻辑运算、逻辑关系的表示及其相互转换的方法、逻辑代数的基本公式和定理、逻辑函数的公式化简和卡诺图化简方法。2023/2/6内容提纲第一讲：

1.1概述

1.2基本逻辑运算

1.3逻辑函数的表示方法第二讲：

1.4逻辑代数的公式和定理

1.5逻辑函数式及其转换方法

1.6逻辑函数的化简——公式法第三讲：

1.6逻辑函数的化简——卡诺图法化2023/2/61.1概述图1.1串联开关电路表1-1串联开关电路功能表输入输出开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮问题引入：

图1.1所示电路，开关A、B在不同开关状态下灯Y亮灭的情况如何？

问题：开关和灯分别有几种状态？Back2023/2/61.1概述设开关A、B分别用变量A和B表示，开关断开与闭合的状态分别用0和1表示；灯Y以变量Y表示，分别以0和1表示灯灭与亮的状态，则表1-1可以转换为表1-2表示。表1-1串联开关电路功能表输入输出开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮表1-2输入变量输出变量A

BY0011010100012023/2/61.1概述1.1.1逻辑变量类似“断开”与“闭合”、“亮”与“灭”、“是”与“否”、“有”与“无”、“高”与“低”、“真”与“假”等只有2种对立状态（逻辑属性）的变量，称之为逻辑变量。它只能取“0”和“1”两个值，且无大小、正负之分。1.1.2逻辑与逻辑运算逻辑：事物间的因果关系。逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。问题：如何进行逻辑运算？2023/2/61.1概述1.1.3逻辑代数（布尔代数）

逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。逻辑代数是1847年由英国数学家乔治·布尔（GeorgeBoole)首先创立的，所以通常人们又称逻辑代数为布尔代数。逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有两种状态，即逻辑值只有“0”和“1”两种取值。这和数字电路中采用“1”和“0”表示高低电平的方式不谋而合，因此，逻辑代数被广泛应用于开关电路和数字电路的设计中，成为分析和设计数字系统的数学基础。数字电路也被称为数字逻辑电路。2023/2/61.1概述1.1.5逻辑函数表1-2图1-1电路真值表输入变量输出变量A

BY0011010100011.1.4真值表表1-2中列出了输入变量所有可能的取值组合所对应的输出变量的值，这种描述输入、输出变量逻辑关系的图表，称之为真值表。输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。Y=F（A，B，C，…）2023/2/61.1概述1.1.6逻辑表达式描述逻辑关系的表达式称之为逻辑表达式。对于表1-2：Y=AB=AB式中，符号“”表示逻辑乘，可省略。可以看出，只有当A、B同时为1时，函数Y才为1。表1-2图1-1电路真值表输入变量输出变量A

BY001101010001决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生。这样的因果关系称为“与逻辑（AND）”，它是3种最基本的逻辑运算之一。“有0出0，全1出1”2023/2/61.1概述1.1.7逻辑符号ABY图1.2与逻辑符号(a)国标符号(b)国外符号至此，我们介绍了3种逻辑函数的表示方法：真值表、逻辑表达式、逻辑符号。2023/2/61.2基本逻辑运算图1.3并联开关电路

练习：如图1.3所示电路，请写出电路功能表、真值表、逻辑表达式。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮表1-3并联开关电路功能表1.2.1或逻辑（OR）ABY000011101111表1-4或逻辑真值表

Back2023/2/6当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或（OR）逻辑。或逻辑表达式：

Y=A+B（逻辑加）或逻辑符号：ABY“有1出1，全0出0”1.2基本逻辑运算(a)国标符号(b)国外符号2023/2/61.2基本逻辑运算

练习：如图1.4所示电路，请写出电路功能表、真值表、逻辑表达式。图1.4电路图1.2.2非逻辑（NOT）表1-5电路功能表开关A灯Y断开亮闭合灭表1-6非逻辑真值表AY01102023/2/6非逻辑表达式：

Y=A=A’（逻辑非）非逻辑符号：AY当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。1.2基本逻辑运算问题：如何用分立元件构成与、或、非门电路？与(AND)、或(OR)、非(NOT)是逻辑代数中三种基本的逻辑运算，以这三种逻辑运算，可以实现任意复杂的逻辑函数。(a)国标符号(b)国外符号2023/2/6仿真：AND_Gate(Diode).ewb表1-7二极管与门电路功能表输入（V）输出（V）VA

VBVY000+5+50+5+5（+5V）（1）二极管与门电路000+51.2基本逻辑运算1.2.3分立元件构成的与、或、非门电路2023/2/6可以看出，输入、输出电压只有0V和+5V两个值，如果分别以“0”和“1”表示，则可得到表1-8所示二极管与门电路的真值表。表1-8二极管与门电路真值表输入输出A

BY000010100111逻辑表达式：

Y=AB1.2基本逻辑运算2023/2/6仿真：OR_Gate(Diode).ewb

表1-9二极管或门电路功能表输入（V）输出（V）VA

VBVY000+5+50+5+5（2）二极管或门电路0+5+5+51.2基本逻辑运算2023/2/6表1-10二极管或门电路真值表输入输出A

BY000010100111逻辑表达式：Y=A+B1.2基本逻辑运算2023/2/6仿真：NOT_Gate(BJT).ewb表1-11三极管非门电路功能表输入（V）输出（V）VAVY0+5（3）三极管非门电路0+5表1-12三极管非门电路真值表输入输出AY0110非逻辑表达式：

Y=A=A’1.2基本逻辑运算2023/2/6（1）与非表1-13真值表XYFXYF001101011110&XYF1.2.4复合逻辑逻辑符号1.2基本逻辑运算(a)国标符号(b)国外符号2023/2/6XYF001101011000XYF（2）或非XYF≥1表1-14真值表逻辑符号1.2基本逻辑运算(a)国标符号(b)国外符号2023/2/6（3）异或XYF001101010110BAF=1BAF表1-15真值表逻辑符号1.2基本逻辑运算(a)国标符号(b)国外符号2023/2/6XYF001101011001（4）同或BAFBAF=表1-16真值表逻辑符号1.2基本逻辑运算(a)国标符号(b)国外符号2023/2/6（5）与或非1.2基本逻辑运算国标符号2023/2/61.2基本逻辑运算各组均有0出1；某组全为1出0相同出1相异出0相同出0相异出1有1出0全0出1有0出1全1出0逻辑规律100101101000111000011011

Y

Y

Y

YAB真

值表（真值表略）逻辑符号函数式与或非同或异或或非与非⊙表1-17复合逻辑简表2023/2/61.3逻辑函数的表示方法逻辑函数可以由真值表、逻辑函数式和逻辑图表示外，还可以由波形图和卡诺图等方式表示。既然它们都是表示同一种逻辑关系，显然可以互相转换。（1）逻辑图真值表ABCY00000101001110010111011100010101真值表开关电路逻辑图在真值表中，根据输入变量的取值和逻辑图中的逻辑运算关系，对应写出输出变量的逻辑值即可。仿真：LogicConversions.ewbBack2023/2/61.3逻辑函数及其表示方法方法2：在逻辑图中，按列列出所有输入变量可能的取值，根据逻辑运算关系，逐级运算，得到输出变量的逻辑值，将其填入真值表即可。X00001111Y00110011Z0101010111001111111100000011001110101010010001010010000001100101

F1100110000001111010101012023/2/61.3逻辑函数及其表示方法000001010011100101110111X

Y

Z0110010101234567FRow真值表2023/2/6（2）真值表逻辑表达式ABCY00000101001110010111011100010101真值表（1）找出真值表中使输出函数Y为1的输入变量取值的组合；（2）每组输入变量取值组合对应一个乘积项，这个乘积项包含所有输入变量，取值为1的以原变量表示，取值为0的以反变量表示；（3）将这些乘积项相加，就得到逻辑函数的表达式。1.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6（3）逻辑表达式逻辑电路图根据逻辑表达式，按先“与”后“或”的运算顺序，用逻辑符号表示并正确连接起来，即可画出其逻辑图或叫逻辑电路。具有相同的逻辑功能、且真值表是相同，但逻辑表达式可能不同，实现电路也不同。1.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6（4）逻辑表达式真值表已知逻辑式，只需要把输入变量取值的所有组合状态代入表达式中，算出逻辑函数值，并将其列成表格，就可得逻辑函数的真值表。一般，输入变量取值组合按对应的二进制数从小到大排列。111011110110010000100000000001010011100101110111

YABCCACB

由逻辑式填真值表还可以采用观察的方法，找出每个乘积项使Y为1的条件，先把对应输出Y位置的1填上；其余的位置填0。B＝0且C＝1A＝0且C＝0。只要A＝11.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6（5）逻辑图逻辑表达式将逻辑图中每一个逻辑符号所表示的逻辑运算从前到后依次写出来，就可得逻辑表达式。1.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6（6）真值表波形图按照真值表所给出的各种输入变量的取值及其对应的输出变量的结果，按时间顺序依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了逻辑函数的波形图。ABCY000001010011100101110111000101011.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6（7）波形图真值表从波形图中找出每个时间段输入变量及函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就可得到真值表。ABY0010101001111.3逻辑函数及其表示方法2023/2/6本讲小结1.本讲主要介绍了逻辑代数的相关概念，基本逻辑运算、逻辑函数的表示方法及其相互转换等内容。2.逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算。由它们构成的常用复合逻辑运算有：与非、或非、异或、同或、与或非等。3.常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等，它们之间可以任意地相互转换。Back作业

P231-2(1)、(4)、(5)、(7)2023/2/6内容提纲第一讲：

1.1概述

1.2基本逻辑运算

1.3逻辑函数的表示方法第二讲：

1.4逻辑代数的公式和定理

1.5逻辑函数式及其转换方法

1.6逻辑函数的化简——公式法第三讲：

1.6逻辑函数的化简——卡诺图法化2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理序号公式规律1A·0=0A+1=10-1律2A·1=AA+0=A0-1律3还原律4A·A=AA+A=A重叠律5互补律6A·B=B·AA+B=B+A交换律7A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C结合律8A·(B+C)=A·B+A·CA+(B·C)=(A+B)·(A+C)分配律9反演律（1）逻辑代数的基本公式（P12）1.4.1逻辑代数的公式Back2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理（2）逻辑代数的常用公式（P12）序号公式规律1A+A·B=A吸收律2吸收律3——4A(A+B)=A——5吸收律6——问题：如何证明或推导以上公式？2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理练习：试证明公式：（1）

（2）

ABY001011101110（1）证明：分别列出等式两边表达式的真值表进行对照，完全一致，故等式成立。（2）证明：2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理（1）代入定理1.4.2逻辑代数的定理

在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。

例如：

令：

则：2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理（2）反演定理

例如：

则：

在一个逻辑式Y中，若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作

。使用反演规则时必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。2023/2/61.4逻辑代数的公式和定理（3）对偶定理

例如：在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：Y’。

若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等，这将有助于记忆一些逻辑代数公式。X+X·Y=XX·(X+Y)=XX·Y+X·Z+Y·Z=X·Y+X·Z(X+Y)·(X+Z)·(Y+Z)=(X+Y)·(X+Z)逻辑函数值除了1就是0，所以上述两种形式均是逻辑函数功能的完整表述，是逻辑函数式的两种标准形式。问题引入：逻辑函数的真值表列出了输入变量所有可能的取值组合所对应的输出变量的值，是逻辑函数功能的完整描述。请将下列真值表分别以函数值（Y）为1和0，写出对应的函数表达式。2023/2/61.5逻辑函数式及其转换方法BackABCY00000101001110010111011100010101真值表最小项和的形式——积之和（与-或表达式）最大项积的形式——和之积（或-与表达式）1.5.1逻辑函数式的两种标准形式

（1）最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式）最小项：设m为包含n个因子的乘积项，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称m为n变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。

最小项的编号规则：把最小项m值为1的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi

。2023/2/61.5逻辑函数式及其转换方法Back2023/2/6最小项编号的二进制数编号的十进制数最小项编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7三变量的最小项编号1.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/6最小项的性质：

a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1；

b)任意两个最小项之积为0；

c)全体最小项之和为1；

d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。将函数式化成最小项和的形式的方法：代数法：

利用公式，将函数式中的每个乘积项所缺因子乘以该因子加上其反变量，展开即可。1.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/6例：将函数式化成最小项和的形式。1.5逻辑函数式及其转换方法观察法：012023/2/6

（2）最大项积的形式——和之积（“或—与”表达式）最大项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的一个最大项。n变量共有2n个最大项。

最大项的编号规则：把最大项M值为0的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最大项的编号，记作Mi

。1.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/61.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/6最大项的性质：

a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0；

b)任意两个最大项之和为1；

c)全体最大项之积为0；

d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。将函数式化成最大项积的形式的方法为：

最小项和最大项为互补关系，可将函数式首先化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式。1.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/6例：将函数式化成最大项积的形式。解：

1.5逻辑函数式及其转换方法2023/2/61.5.2逻辑函数形式的变换与非-与非式或-与非式或非-或式或非-或非式与或非式与非-与式

一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种，即逻辑函数的实现电路可以有多种形式。因为不管哪种表达形式，对于具有相同真值表的逻辑函数而言所表达的逻辑功能是一致的。各种表达式可以互相转换。与-或式或-与式1.5逻辑函数式及其转换方法1.6逻辑函数的化简——公式法2023/2/61.6.1逻辑函数的最简表达式（1）最简与-或表达式

表达式中的乘积项最少；乘积项中含的变量最少。（2）最简或-与表达式

表达式中的或项最少；或项中含的变量最少。逻辑函数常用的最简式有最简与-或式和最简或-与式两种。Back1.6逻辑函数的化简——公式法1.6.2公式法化简逻辑函数的常用方法吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。2023/2/6并项：利用

将两项并为一项，且消去一个变量B。消项：利用

消去多余项BC或BCD。消元：利用

消去多余变量A。配项：利用A+A=A、或进行配项。1.6逻辑函数的化简——公式法2023/2/6吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。并项：利用

将两项并为一项，消去一个变量B。1.6逻辑函数的化简——公式法2023/2/61.6逻辑函数的化简——公式法2023/2/61.6逻辑函数的化简——公式法2023/2/62023/2/6本讲小结1.本讲主要介绍了逻辑函数式及其转换方法、逻辑代数的公式和定理以及逻辑函数的公式化简法。2.

标准逻辑函数式有与或表达式和或与表达式两种形式。具有相同真值表的逻辑功能，可以有不同的逻辑函数式（即实现的逻辑电路可以不同），它们之间可以相互转换。3.

逻辑代数的公式和定理是逻辑代数运算和公式法化简逻辑函数的基础。Back作业

P241.3，1.6（a），1.7（1）

4.

公式法化简逻辑函数对逻辑函数没有什么局限性，化简需要一定技巧，且要对常用公式较熟悉。2023/2/6内容提纲第一讲：

1.1概述

1.2基本逻辑运算

1.3逻辑函数的表示方法第二讲：

1.4逻辑代数的公式和定理

1.5逻辑函数式及其转换方法

1.6逻辑函数的化简——公式法第三讲：

1.6逻辑函数的化简——卡诺图法化1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/61.6.1逻辑函数的卡诺图化表示法

用各小方块表示n变量的全部最小项，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形称为n变量最小项的卡诺图。二变量卡诺图三变量卡诺图

Back1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6五变量卡诺图四变量卡诺图1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6首先将该函数式化成最小项和的形式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填1，其余位置处填0。1.6.2逻辑函数式转换成卡诺图1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6为了简化卡诺图的画法，可以只填写“1”，不填写“0”。

1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6观察法填写卡诺图：找出每一个乘积项的所有最小项，并在其中填1。1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/61.6.3用卡诺图化简逻辑函数

两个逻辑相邻的最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。所以在卡诺图中两个位置相邻方格的最小项之和亦可合并化简，得到简化的函数式。用卡诺图化简逻辑函数的步骤（1）首先将逻辑函数变换成与或表达式；（2）画出逻辑函数的卡诺图；（3）用圈将那些函数值为1的可以合并的方格（最小项）圈起来，并找出其公因子；（4）每个圈对应一个乘积项（即公因子），将所有乘积项相加就得到化简后的与或式。1.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6卡诺图化简圈“1”的原则：yz1111x00011110011111yzx000111100111

（1）每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为2i个；11111111yzwx00011110000111101.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6卡诺图化简圈“1”的原则：yz1111x00011110011111yzx000111100111（1）每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为2i个；11111111yzwx00011110000111101.6逻辑函数的化简——卡诺图法

（2）每个圈至少包括一个没有被圈过的1；11111111yzwx00011110000111101111111111yzwx00011110000111102023/2/611111111yzwx00011110000111101.6逻辑函数的化简——卡诺图法2023/2/6（3）所有1至少被圈过一次。1111yzx00011