第2章刚体力学

质元之间的距离保持不变。mimj(理想模型)有质量没有大小和形状的点---质点在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体---刚体(理想模型)第二章刚体力学1平动：用质心运动讨论刚体运动的两种基本形式平动---刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。质心的运动代表整个刚体的平动一、刚体的平动和转动22.1刚体运动学转动：刚体内所有质元都绕同一直线做圆周运动.这条直线叫转轴定轴转动：转轴固定不动的转动。OO’转轴3刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动4转动平面转轴参考方向各质元的位移、线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.描述刚体整体的运动用角量方便。二、定轴转动的角量描述5r角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。加速转动方向一致减速转动方向相反方向单位：rad/s26质元的线量与角量的关系：7转动的物体具有动能，其值等于各个质元的动能的总和J是衡量物体转动惯性的量一、刚体定轴转动动能Mr2-2刚体的定轴转动二、转动惯量8质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）转动惯量的计算单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量转动惯量与什么因素有关：刚体的质量质量的分布转轴的位置9注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布10例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环RJ是可加的，所以若为薄圆筒,结果相同。11例2求质量为m、半径为R、高为l

的均匀圆柱体的转动惯量。轴为圆柱体轴线。解：取半径为r高为l厚为dr的圆筒,可见，转动惯量与l无关。12例3.求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZ13YXZORrdZZ14例4、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如图坐标dm=dx15平行轴定理前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。16例5.求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量.(棒长为L、球半径为R）171、力对转轴的力矩转动平面(2)任意方向的力对转轴的力矩三、转动定律转动平面(1)方向如图单位：牛·米（N·m）18

将切向分量式两边同乘以

,2、刚体定轴转动的转动定律19刚体定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。地位相当20转动定律应用举例例1一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。mg21mg解：22ABF解：水平恒力F对过A端的竖直轴的力矩为23例2质量为m，长为l的水平匀质细杆AB能自由地绕通过其A端的竖直轴旋转。从某一时刻起,在B端作用一个水平恒力F，该力在所有的时间内总是垂直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度和它从初始位置转过的角的函数关系。对上式求积分ABF由转动定理有24例3、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮(匀质圆环)，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.2。求:(1)从制动开始到飞轮停止转动这段时间内飞轮转了多少转?(2)闸瓦对飞轮的压力N为多少？F025解(1)从制动开始到飞轮停止转动,飞轮转过的转数

0Nfr26飞轮转了41.67转．(2)闸瓦对飞轮的压力N0Nfr27根据转动定律已知:m＝69kg,R＝0.25m，µ=0.2,=-20.9rad/s2力矩做功是力做功的角量表达式.力矩的瞬时功率对比：四、力矩的功28

刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。对比：当θ=θ1时，ω=ω1；

θ=θ2时，ω=ω2所以：五、刚体定轴转动的动能定理29刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和.1、刚体的重力势能刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.六、包括刚体的系统的机械能守恒定律30若在刚体转动过程中,只有重力做功,则机械能守恒.机械能守恒定律2、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律定轴转动的功能原理即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，或二者的功的代数和为零，机械能守恒.31例1已知：均匀直杆m,长为l,初始水平静止，轴光滑，AOl=4

。求:杆下摆q角时，角速度w=?解：杆地球系统，+∵只有重力作功,∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末态：EJk2212=w,

EmglP24=-sinq得：

wq=267glsin32例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,

该质元的重力对轴的元力矩为Ogdmdm33整个棒的重力矩为Ogdmdm根据转动定律34Ogdmdm35例3弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示,弹簧的劲度系数为2.0N·m-1,定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2,半径为0.30m,问当6.0kg质量的物体落下0.40m时,它的速率为多大?假设开始时物体静止而弹簧无伸长．解:以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，下落的过程中，机械能守恒.36以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点.故有37O质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。质点1、角动量2-3刚体角动量定理和角动量守恒定律一、刚体的角动量定理38质点系对某点的角动量：如果质点系绕定轴转动：各质点有相同的，392、角动量定理外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。根据转动定律，可得：40作用在物体上的外力对某轴的力矩之和为零，则物体对该轴的角动量守恒角动量守恒定律角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。例：回转仪二、角动量守恒定律41FF2、转动惯量可变的物体。42实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作43Ⅱ体操、跳水、运动员在空中为了迅速翻转总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳地。44ω花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.ω45例1质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？已知：求：解：以M、m为研究对象故角动量守恒+MXm46人和台原来角动量为0（1）式×dt积分：若人和转台的角速度分别为+MXm47MXm48例2一个质量为M、半径为R并以角速度ω转动的飞轮(匀质圆盘),在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．(1)问它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．解:(1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度令v=0，得上升最大高度H为49(2)碎片与破盘的总角动量应守恒，即式中ω'为破盘的角速度．于是(角速度不变)50圆盘余下部分的角动量为转动动能为51例3空心圆环可绕竖直轴自由转动,如图所示,其转动惯量为J0,环半径为R,初始角速度为ω0.质量为m的小球,原来静置于A点,由于微小的干扰,小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的,问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?解:(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有该系统在转动过程中,只有重力做功,机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为vB，以B点为重力势能零点，则有52联立①、②两式，得(2)当小球滑至C点时，故由机械能守恒，有53例4一质量为M,半径为R的均质圆盘,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O的光滑竖直固定轴转动,开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度。（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)54解：（1）子弹击中圆盘边缘并嵌在一起，这段时间很短，子弹和圆盘所组的系统角动量守恒。有解上式得：（2）匀质圆盘可看成一系列半径不同的同心圆环构成，在离转轴r处取一半径为r,宽度dr的细圆环，其质量为55OR

dr摩擦力矩为由转动定律有OR

dr56圆盘在水平面上转动时间为57例5、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度v0射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.解:以f表示棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力f'

,

对棒有：v0vmM由两式得58v0vmM请问:1.子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?2.总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?59oθla例6、一长为l、质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速率为v的子弹射入并嵌在距支点为a的棒内，若杆的偏转角度为θ=300，子弹的初速率为多少？解：可分两个运动过程来分析。冲击过程：杆维持竖直M合外=0系统角动量守恒60摆动过程：M合外≠0系统角动量不守恒只有重力作功，系统机械能守恒oθla61解:碰撞前单摆摆锤的速度v0例7、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤质量相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于竖直位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后摆锤达到的高度h'和直杆下端达到的高度h。amlhol62chch´hb令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v´。由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中动能也守恒:63按机械能守恒碰撞后摆锤达到的高度h'而杆的质心上升的高度hc满足chch´hb64

例8如图示已知：M=2m，h，q=60°求(1)碰撞后瞬间圆盘的w0=？(2)P转到x轴时圆盘的w=?=?解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)65碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：qwomvRJcos=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqogh