高中数学苏教版3第三章统计案例 第3章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)②③线性回归直线方程在回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))代表x每增加一个单位，y平均增加的单位数．一般来说，当回归系数eq\o(b,\s\up6(^))>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均增加eq\o(b,\s\up6(^))个单位；当回归系数eq\o(b,\s\up6(^))<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均减少|eq\o(b,\s\up6(^))|个单位．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20232023202320232023需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2023年的粮食需求量．【精彩点拨】正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性．【规范解答】(1)由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图(图略)，通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份—2023－4－2024需求量—257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得eq\x\to(X)＝0，eq\x\to(Y)＝，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(Y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(X,\s\up6(－))＝，由上述计算结果，知所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))－257＝eq\o(b,\s\up6(^))(x－2023)＋eq\o(a,\s\up6(^))＝(x－2023)＋，即eq\o(y,\s\up6(^))＝(x－2023)＋.(*)(2)利用直线方程(*)，可预测2023年的粮食需求量为×(2023－2023)＋＝×6＋＝(万吨)．[再练一题]1．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)34(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；图3­1(2)求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))【解】(1)散点图如图．(2)由表中数据得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝，eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，回归直线如图所示．(3)将x＝10代入线性回归方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝，故预测加工10个零件约需要小时．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关系数r来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)预测当钢水含碳量为160个%时，应冶炼多少分钟？【精彩点拨】列表求r，进行判断，利用eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，写出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.【规范解答】(1)列出下表：i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝172，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝265448，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝312350，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝287640于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－10\o(y,\s\up6(－))2))≈6.根据小概率与n－2＝8在附表中查得＝，由|r|>知，有95%的把握认为y与x具有线性相关关系．(2)设所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈－，即所求线性回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(3)当x＝160时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×160－＝(min)，即大约冶炼.[再练一题]2．测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)6062646566儿子身高(y)66父亲身高(x)6768707274儿子身高(y)70(1)画出散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．【解】(1)(2)从散点图看出，样本点散布在一条直线附近，因此两个变量呈线性相关关系．设回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\o(x,\s\up6(－))2＝4，eq\o(y,\s\up6(－))2≈4，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,)i＝44794，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝44，由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(44－44,44794－44＝eq\f,≈6.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－6×≈.故所求的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋.(3)当x＝73时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6×73＋≈.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．独立性检验独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算χ2；(3)比较χ2与临界值的大小关系作统计推断．为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯错误的概率不超过的前提下认为人的性别与患色盲有关系吗？【规范解答】由题意列出2×2列联表：患色盲未患色盲合计男性39441480女性6514520合计459551000由公式得χ2的观测值χ2＝eq\f(1000×39×514－441×62,480×520×45×955)≈.因为P(χ2≥≈，且>，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为患色盲与人的性别有关系，男性患色盲的概率要比女性大得多．[再练一题]3．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：种子灭菌种子未灭菌合计黑穗病214175389无黑穗病4515971048合计6657721437能否在犯错误的概率不超过的前提下认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系？【解】提出假设H0：假设种子灭菌与黑穗病没有关系．根据列联表中的数据知，a＝214，b＝175，c＝451，d＝597，a＋b＝389，c＋d＝1048，a＋c＝665，b＋d＝772，n＝1437，代入公式求得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1437×214×597－175×4512,389×1048×665×772)≈，由于>，所以能够在犯错误的概率不超过的条件下，认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系．1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)支出y(万元)根据上表可得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为__________万元．【解析】由题意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－×10＝，∴当x＝15时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×15＋＝(万元)．【答案】2．根据如下样本数据x345678y－－－得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则__________．【解析】作出散点图如下：观察图象可知，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】a>0，b<03．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是__________．表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652【解析】表1中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).表2中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).表3中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).表4中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．【答案】阅读量4．(2023·全国卷Ⅱ)某地区2023年至2023年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2023202320232023202320232023年份代号t1234567人均纯收入y(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2023年至2023年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq