广东省梅州市宁塘中学2021年高三数学理测试题含解析

广东省梅州市宁塘中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前n项和为且成等比数列，成等差数列，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：B依题意，得因为，所以，即，故数列等差数列；又由，，可得.所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以即，故，故，，故，答案为B.2.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.参考答案：D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．3.已知向量，，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：B4.一定是（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形参考答案：B略5.已知三个命题：①关于的方程无实数根；②关于的不等式对于任意的恒成立；③函数在上单调递减.如果上述三个命题中两真一假，那么实数的取值范围是（

）．

．

．

w．参考答案：D6.已知，若的充分条件，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：D略7.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，则A(B)为

(A){3}

(B){0，2}

(C)

(D){1，4}参考答案：D略8.等差数列中，，则（

）A．

B．

C．5

D．参考答案：D9.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]参考答案：B【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．10.函数的大致图象是(

)

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解

.参考答案：12.规定满足“f（﹣x）=﹣f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=是对偶函数，则（1）g（x）=﹣x2+4x．（2）若f[﹣]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是．参考答案：m＜5考点：函数奇偶性的性质．专题：新定义．分析：（1）先设设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式求出f（﹣x），再由题意f（﹣x）=﹣f（x），求出g（x）；（2）由（1）求出的解析式，分别求出函数值的范围，进而把条件转化为对于任意的n∈N°恒成立问题，即对于任意的n∈N°恒成立问题，分离常数m并把和式展开，利用裂项相消法进行化简，再求出此式子的最小值即可．解答：解：（1）由题意设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+4x，（2）由（1）得，，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4＜0，当x≥0时，f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4≥0，∵对于任意的n∈N°恒成立，∴条件转化为对于任意的n∈N°恒成立，即m＜10×=10（）对于任意的n∈N°成恒立，令y=10（），即求y的最小值，则y=10×[（1）+（）+…+（﹣）]=10（1﹣），∵1﹣≥1﹣=，∴y的最小值为5．综上可得，m＜5．故答案为：﹣x2+4x；m＜5．点评：本题以一个新定义为背景考查了恒成立问题，求和符号的展开，分离常数法和裂项相消法求和等，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．13.已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为

．参考答案：（x﹣2）2+y2=5

【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．14.已知幂函数的图像不过坐标原点，则的值是___

．参考答案：1或2

略15.若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，则++…+=

．参考答案：1﹣【考点】数列的求和．【分析】等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，可得a1（22﹣1）=6，解得a1．可得an=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，∴a1（22﹣1）=6，解得a1=2．∴an=2n．则++…+=+…+==1﹣．故答案为：1﹣．16.集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．参考答案：{2，3，4}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．17.已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=．参考答案：【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出=（2，﹣1），再由不、平面向量坐标运算公式求出=（3，1），由此能求出||．【解答】解：∵向量=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴?=λ﹣2=0，解得λ=2．∴=（2，﹣1），=（3，1），∴||==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质和平面向量坐标运算公式的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.（1）求的长；（2）试问在线段的何处时，达到最大.图1参考答案：(1)设，，，则，，由题意得，，解得.………6分（2）设，则，，，………8分，，即为锐角，令19.已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的最小正周期可求；（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=====．∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，则2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数值域的求法，运用辅助角公式化简是解答该题的关键，是基础题．20.已知椭圆的离心率为,且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,

(i)求的最值.(ii)求四边形ABCD的面积；参考答案：解：(1)由题意，，又，…………2分解得,椭圆的标准方程为.………4分(2)设直线AB的方程为，设联立，得

----------①

………6分

=

……8分(i)

当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2.……………10分(ii)设原点到直线AB的距离为d，则.

即,四边形ABCD的面积为…………12分

略21.某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一