广东省揭阳市庵埔洪林迎中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析

广东省揭阳市庵埔洪林迎中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边长为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由45°和60°分别求出sin45°和sin60°的值，再根据45°角所对的边长是6，利用正弦定理即可求出60°角所对的边长．【解答】解：设60°角所对的边长为x，根据正弦定理得：=，解得x==3，则60°角所对的边长为3．故选A2.f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是（）A.(－∞,2) B.(－∞,]

C.(0,2)

D.[,2)参考答案：B试题分析：由题意得，函数是上的单调减函数，则，解得，故选B.

3.设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．19参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2=||2+||2+2，即可求出答案．【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||?||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则＝(

)．A．－11

B．－8

C．5

D．11参考答案：A略5.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当，x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（2015）的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．参考答案：A【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由于对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），则4为f（x）的周期，从而f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），再由已知解析式代入计算即可得到．【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），又x∈（0，2）时，f（x）=2x，所以f（1）=2，因为对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），所以4为f（x）的周期，所以f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性及函数求值，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．6.函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．参考答案：C考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：计算题．分析：通过函数的图象求出A，周期T，利用周期公式求出ω，图象经过（3，0）以及φ的范围，求出φ的值，得到函数的解析式．解答：解：由函数的图象可知A=2，T=2×（5﹣1）=8，所以，ω=，因为函数的图象经过（3，0），所以0=2sin（），又，所以φ=；所以函数的解析式为：；故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的图象求函数的解析式的方法，考查学生的视图能力，计算能力，常考题型．7.1和4的等比中项为（

）A.-2 B.2 C. D.±2参考答案：D【分析】由等比中项的定义计算即可.【详解】根据等比中项定义知，1和4的等比中项为，故选：D.【点睛】本题主要考查了等比中项的概念，属于容易题.8.已知且，则锐角等于（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.设，则的最小值是（

）A．2

B．4

C．

D．5参考答案：B略10.△ABC中，＝，＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于A．

B．

C．或

D．或参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+m+1，则f（﹣3）=

．参考答案：﹣2考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据奇函数性质f（0）=0求得m的值，由f（﹣3）=﹣f（3），再由已知表达式即可求得f（3）．解答： 解：f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=m+1=0，∴m=﹣1，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查利用奇函数性质求函数值，考查学生计算能力，属基础题．12.已知关于x的不等式的解集是，则的解集为_____.参考答案：【分析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得，进而化简不等式，得，进而得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，关于的不等式的解集是，则，解得，所以不等式，即为，即，即，解得即不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13.两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积的比为

．参考答案：略14.对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．参考答案：[2，4）【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件求得求得＜[x]＜，再根据[x]的定义，可得x的范围．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，[x]的定义，属于基础题．15.集合,集合且,则实数_________.参考答案：由，得，所以.16.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A=______；C=_______.参考答案：30°

90°【分析】先根据求出A的值，再根据求出B的值即得C的值.【详解】由题得,所以.因为，所以,所以C=.故答案为：

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱表面，从E到F的最短路径的长为_________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（5，1），B（1，5）．（1）若A为直角△ABC的直角顶点，且顶点C在y轴上，求BC边所在直线方程；（2）若等腰△ABC的底边为BC，且C为直线l：y=2x+3上一点，求点C的坐标．参考答案：【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）利用斜率关系建立方程，求出C的坐标，即可求BC边所在直线方程；（2）利用距离关系建立方程，即可求点C的坐标．【解答】解：（1）设C（0，y），则=﹣1，∴y=﹣4，∴BC边所在直线方程，即9x﹣y﹣4=0；（2）设C（a，2a+3），则∵等腰△ABC的底边为BC，∴（5﹣1）2+（1﹣5）2=（a﹣5）2+（2a+2）2，∴5a2﹣2a﹣3=0，∴a=1或﹣，∴C（1，5）或（﹣，）．19.已知数列{an}满足，，首项（），数列{bn}满足．（I）求证：{bn}为等比数列；（II）设数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：解：（I）由，可得，即，，所以为等比数列．（II）由于是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，令，，（1）当为奇数时，递减，所以，（2）当为偶数时，递增，所以，所以的最大值为，最小值为，由题意可知，必须满足，解得．20.（12分）设半径为3的圆C被直线l：x+y﹣4=0截得的弦AB的中点为P（3，1）且弦长|AB|=2求圆C的方程．参考答案：考点： 圆的标准方程．专题： 计算题；直线与圆．分析： 先求出弦心距，再根据圆C被直线l：x+y﹣4=0截得的弦AB的中点为P（3，1），建立方程，即可求得圆C的方程．解答： 由题意设所求的圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9．圆心到直线的距离为d===，∵圆C被直线l：x+y﹣4=0截得的弦AB的中点为P（3，1），∴=1，∴a=4，b=2或a=2，b=0即所求的圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9或（x﹣2）2+y2=9．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求圆的标准方程，属于中档题．21.（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 常规题型；计算题．分析： （1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．解答： （1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，∴sin=0．而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．

（2）由f（α）+f（α﹣）=，得sin（2α+）+sin（2α﹣）=，即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．∴（sinα+cosα）2=1+=．∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．点评： 本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．22.已知公差为的等差数列