广东省揭阳市东港中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市东港中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，正确的是(

)A．直线l⊥平面α，平面β∥直线l，则α⊥β

B．平面α⊥β，直线m⊥β，则m∥αC．直线l是平面α的一条斜线，且l?β，则α与β必不垂直D．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行参考答案：A2.为圆：上任意一点，为圆：上任意一点，中点组成的区域为，在内部任取一点，则该点落在区域上的概率为A． B． C． D．参考答案：方法1：设，中点，则代入，得，化简得：，又表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知轨迹是在以为圆心以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选．方法2：设，，，则，①，②，①2②2得：，所以的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆环，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选．3.定义在上的函数满足（），，则等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9参考答案：A4.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为

（

）A．30o B．45o

C．60o D．90o参考答案：答案：D5.设函数是偶函数，当时，，则}等于…（

）A．或 B．或C．或

D．或参考答案：D，当时，由得，所以函数的解集为，所以将函数向右平移2个单位，得到函数的图象，所以不等式的解集为或,选D.6.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：

①，； ②，；

③，； ④，，

则在区间上的存在唯一“友好点”的是（

）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④参考答案：D7.函数的部分图象如图所示，则＝ A.6 B.4

C.

D.参考答案：A8.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为12343124（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：B考点：数列的递推关系因为，

所以，数列每三项一循环，=

故答案为：B9.在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运算性质，计算即可．【解答】解：如图所示，△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，，且AB=2AC=2，∴=（+）?=（﹣+）?（+）=﹣﹣?+=﹣×12﹣×（﹣1）+×22=．故选：B．10.已知集合，，则=A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为

．参考答案：20.8由题得所以成绩的方差为

12.＿＿＿＿＿＿参考答案：13.设（），若△的内角满足，则____________．参考答案：14.命题命题是的_________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）。参考答案：充分不必切15.设向量，满足，，则与夹角的最大值为

参考答案：略16.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量与夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量，，当＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于______________参考答案：由题意易知：，，所以cosθ＝。17.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是△ABC外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．参考答案：分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，,S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解：，由正弦定理得到在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为四边形的面积为

当三角形面积最大时，故答案为：点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在区间上有最大值4，最小值1，求a，b的值。设不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围？参考答案：解：（1）①②综上，a=1，b=0.（6分）（2）略19.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=?sin∠BAC=×=320.已知数列{an}，a1=2，a2=6，且满足（n≥2且n∈N*）（1）求证：为等差数列；（2）令，设数列{bn}的前n项和为Sn，求{S2n－Sn}的最大值.参考答案：

21.已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．【解答】解：（Ⅰ），当a=1时，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴，由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴．【点评】此题是个难题．本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，为的中点,延长与⊙相交于点，连结,，为与的交点．(Ⅰ)求证：(Ⅱ)若，求的值.参考答案：证明：(Ⅰ)…1分⊙的直径…………