有限元试卷答案

1写出线弹性平面问题三类基本方程和二类边界条件（分量或指标形式），并指出相应的自变量。答：三个基本方程①平衡方程亍一*孔I絮♦■财5②本构方程平面应力勺=池*）=A=ITxyGE乳¥平面应变林=2Gex+A（ex+%）弓=2GEy+A（Ex+勺）F=&施平面应变应变协调方程三-二二ffjg-Z &工廿v③几何方程4二类边界条件①力的边界条件•尸二s（.丹=S、+气hh=casfn,y）②位移边界条件 如今给定的位移边界为.：.，则有（在」上），：."一二「，其中乙「分别为边界上x，y方向上的位移分量2简述有限元法分析的基本步骤和相对应的基本表达式。答：江见鲸的教材P26页（4步的这是），如果想要写完成7步的话那就是P8①步骤：⑴将结构离散化⑵单元分析，求得单元节点位移与节点力的关系，计算单元刚度矩阵⑶以节点为隔离体，建立平衡方程⑷施加荷载⑸引入边界条件⑹求解方程，求得节点位移⑺对每一单元循环，由单元节点位移通过单元刚度矩阵求得单元应力或杆件内力②表达式：v=v=0!4i+a5x+a6y『上0hj0bm0几何矩阵 [B]亏0Dq。板1四0弹性矩阵 回=京乂1£0° „M=[0][£]应力矩阵二]二二M3单元分析中，假设的位移模式应满足哪些条件，为什么?平面三结点三角形单元中，能否构造如下的位移模式（说明原因）T（n）=服+J35.xv+p6v~答：这类问题参照江见鲸的教材P13，要求满足的三个条件不能。因为不满足完备性，缺少表示刚体位移的常数项和表示应变是位移一阶导数的常应变项不能保证解的收敛性。4简述加权余量法、半解析法、样条有限元法、边界单元法的特点。答：加权余量法：当n有限时，定解方程存在偏差（余量），取权函数，强迫余量在某种平均意义上均为采用

使余量的加权积分为0的等效积分以“弱”形式来求得微分方程近似解的方法。半解析法：离散与解析相结合的方法，减少计算工作量，降低费用。样条有限元法：具有紧凑型及良好的光滑性，明确的表达式的优点，所得到的结果均在单元节点上，在数据的后处理方面更为方便和精确。边界单元法：将所研究问题的偏微分方程，设法转换为在边界上定义的边界积分方程，然后将边界积分方程离散化为只含有边界结点未知量的代数方程组，解此方程组可得边界节点上的未知量并可由此进一步求得所研究区域中的未知量，它除了能处理有限元方法所适应的大部分问题外，还能处理有限元法不易解决的无限域问题。5.验证3结点三角形单元的位移插值函数满足N3,y）=1N3,y）=0N（x,y）=0iii ijj immN（x,y）+N（x，y）+N（x,y）=1证明：由原题目所知得二一―.一'1置iyi'又因为4=捉狗yj=Llxmymi故，得结论。这个题参照教材12页到14页6推导一维杆单元的形函数、几何矩阵、应力矩阵、刚度矩阵答：形函数参照教材11到14页，几何矩阵在15页，应力矩阵在17页，刚度矩阵在19页。具体不是很会，大家自行解答吧7就下列言论写出自己的看法：（有限元分析之大腕版）一定要选最变态的题目，什么材料非线性啊，几何非线性啊，接触非线性啊，多物理场耦合啊，都给他弄进去。是个模型就几百万个单元，上千万个节点，画个剖面图就要十几个小时。再整一并行机群，TOP500的，张口就是HighPerformanceComputation，一口地道的伦敦腔，倍儿有面子。题目一扔进去就跑个把月，你要是一个星期以内出结果，你都不好意思和别人打招呼。你说这样一趟算下来要发多少Paper?10篇？10篇？就1篇！你还别嫌少，说不定人家还发在会议上。你得琢磨牛人的心理啊，有能耐算这样题目的人，根本就不在乎多发一篇两篇文章。什么叫大牛知道么？大牛就是不求灌水，但求经典。答：这道题。。谁知道想问什么。。。8采用矩形薄板单元（4个结点，12个结点位移分量，1个挠度独立变量）计算受中心集中力的四边支承板，单元数（1/4板）四边固定板中心挠度wD/PL2边中点弯矩M/P2X20.00614-0.11784X40.00580-0.12336X60.00571-0.1245理论解0.00560-0.1257L中粉w(x,y)=a+ax+ay+ax2+axy+ay2+ax3+ax2y+位移函数： 1 2 3 4 5 6 7 8axy2+ay3+ax3y+axy3计算结果如下表(边长为1，厚度为01.101，弹模为1，波松比为0.3)试分析本题中有限元解位移大于解析解、弯矩小于解析解的原因。答：有限元解位移大于解析解的原因是单元为非完全协调单元。挠度w是弯曲问题中的基本未知函数且由于忽略了7方向的变化，因此它只是x,y的函数：，若w已知，则唯一、内力、应力均可按上述相应公式求出。在经典解析法中，w（x，y）常设为三角级数形式。的位移分量。答：①设位移函数为u.二•二-二二-一：9.三角形单元的结点坐标如图所示，设单元中一点人的坐标为（0.6,0.3）。已知三角形三结点单元的1结点位移为（2.0,1.0），j结点位移为（2.1,1.1），m结点位移为（2.15,1.05）。1）写出单元的位移函数；2）求A的位移分量。答：①设位移函数为u.二•二-二二-一：v=14+a5x+a6y将I,j,m点坐标代入u,v,最终得:u=2.15—0.15x+O.lyv=1.05—0.05x+O.ly

②将A点坐标代入位移函数得二二二】，［京，即A（2.095,1.045）。10、已知外力P=50X103N，确定位移场、应力、应变和支座反力。取E=2.1X104N/mm2。答：结构刚度矩阵K为:20x10答：结构刚度矩阵K为:20x103x250150f-11-12-1-1整体荷载列阵为F=b,60x103,0」引入边界条件Q1=0和Q3=1.2mm，修正方程如下:20x1020x103x250x2150=60x103+20x103x250x1.2B0解得位移场:Q=t）,1.5,1.2」mm单元应力、应变为:b=20x103x—(-1J°)=200MPa1 150 ,1.5)8=b/E=200/(20x103)=0.0111b=20x103x—(-1J1')=-40MPa2 150 ,1.2)8=b/E=-40/G°x103)=-0.002支座反力为：_20x10_20x103x250_R—

1150]-10)1.5—-50kN12,R=R=20x103x250(03 B0(0]-1L1.5—-10kN12k「£7另一套的部分题（重复和不会的就被我忽略了。。。）各学科对有限元法的定义略不相同，但有一条相同的，即都认为有限元法是有效的—数值分析—方法.求解区域的离散化：即把实际问题，的整体求解域剖分为有限个单元，这可以通过有限个—离散—的三角形,四边形或多边形来分割求解区域.在划分单元时，任意一个三角形单元的—节点_,必须也是相邻单元的—节点_,而不是相邻单元边上的点.二、简答题（40分）单元分析中，假设的位移模式应满足哪些条件，为什么？答：见教材P13试阐述总体刚度矩阵的特点.（这里问总刚在教材P23,如果问你单刚那就是在P20）答：⑴整体刚度矩阵是对称矩阵⑵整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的⑶整体刚度矩阵是一个稀疏阵⑷施加荷载没有支承的整体刚度矩阵是一个奇异阵

7如图所示平面何JS,酝元(2)在血y坐标系中，单元的三条边分别平行.对应边长相等，厚曲材料性质抽叭白知单元(1)的m讷眼知4<;匕人匕阵4<;匕人匕阵答：①-厂二'■:-=同上②理由：单元刚度矩阵仲I不随单元(或坐标轴)的平行移动或作n