广东省广州市汾水中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省广州市汾水中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥中，平面，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】球的体积和表面积．G8A

解析：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【思路点拨】根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积.2.已知an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为()A．1024

B．2003

C．2026

D．2048参考答案：C略3.函数,则（

）

A．1

B．－1

C．

D．参考答案：B4.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值为A．B．2

C．4

D．5参考答案：C解：直观图如图所示∵该几何体的体积为3∴∴∵OE=∴在Rt?DOE中即5.x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（） A．14 B． 7 C． 18 D． 13参考答案：考点： 基本不等式；简单线性规划．专题： 计算题．分析： 作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．解答： 解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）?（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评： 本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．6..“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。【详解】由柯西不等式可知：所以，当且仅当即x＝时取等号，故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，故选：A．【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。7.抛物线上的点到焦点的距离为，则的值为A． B． C． D．参考答案：C8.已知{an}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值．【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．9.已知函数为偶函数，若将的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，若，则等于(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略10.已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．参考答案：﹣1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：AF⊥x轴，=c，代入抛物线方程即可求得A点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率．【解答】解：如图所示由F，A，B共线，则AF⊥x轴，由抛物线M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，∴=c，把x=，代入抛物线方程可得：y2=2p?，解得：y=p．∴A（，p），即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：，又b2=a2﹣c2，∴，由椭圆的离心率e=，整理得：e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1．解得：e2=3﹣2，∴e=﹣1，故答案为：﹣1．12.已知直线与圆相切，与直线平行且距离最大，则直线的方程是

.参考答案：13.若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为

．参考答案：答案：解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为14.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为_____________.参考答案：【知识点】随事件的概率K1【答案解析】

记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，

则事件AB为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，依题意知P（A）=，P（AB）=×，

∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A）=．

故答案为：．【思路点拨】本题条件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、第二次取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．15.已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的取值范围是

参考答案：．

16.设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足的值域是 。参考答案：答案：17.已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是

.参考答案：{}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知实数满足.(Ⅰ)若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；(Ⅱ)当时，求的最小值.

参考答案：解析：(Ⅰ)由知为的中点，……………………2分设,代入曲线方程:,因为的斜率为，从而,……………………5分，故曲线为焦点在轴上的椭圆，……7分(Ⅱ)记或……………………9分（1）若，此时………11分（2）若，此时…………13分

略19.如图，是△的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．参考答案：解：（I）证明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD=DE·DB；

略20.（12分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面SMN的距离.

参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB.∵SA=SC，BA=BC，∴AC⊥SD且AC⊥DB，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM，∴∠SED为二面角S－CM－A的平面角.由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2.在Rt△SDE中，tan∠SED==2，∴二面角S－CM—A的大小为arctan2.（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4正△ABC的中线，.

∴S△SCM=CM·SE=，设点B到平面SCM的距离为h，由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC，得S△SCM·h=S△CMB·SD，∴h=

即点B到平面SCM的距离为解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，BA=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.则A（2，0，0），C（－2，0，0），S（0，0，2），B（0，2，0）.∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），∵·=（－4，0，0）·（0，－2，2）=0，∴AC⊥BS.（Ⅱ）由（Ⅰ）得M（1，，0），，=（2，0，2）.

设n=（x，y，z）为平面SCM的一个法向量，则

∴n=(－1，，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==∴二面角S－CM－A的大小为arccos（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（2，2，0），n=（－1，，1）为平面SCM的一个法向量，∴点B到平面SCM的距离d=21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．C3C7（1），递减区间为.（2）当时，函数的最大值为1.解析：（1）

……3分周期，因为，所以，

…………5分当，即时函数单调递减；所以的单调递减区间为.

…………7分（2）当，，

…………9分，