广东省广州市第八十四中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

广东省广州市第八十四中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（

）（1）若，则；

（2）若，则；（3）若，则；

（4）若，则；（5）若，则.A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（5）

C．（1）（3）（4）

D．（1）（3）（5）

参考答案：D2.若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，e] C． D．（﹣∞，e）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，∵f′（x）=，则x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）=为增函数，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）=为减函数，故x=e时，f（x）max=，故a的取值范围是，故选：C3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是(

)A. B. C. D.参考答案：C4.（08年全国卷2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：【解析】：C与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形为矩形，所以5.是等差数列的前n项和，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列各数中为定值的是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知集合，，则集合（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.函数f（x）=log2|x|，g（x）=﹣x2+2，则f（x）?g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：要判断f（x）?g（x），我们可先根据函数奇偶性的性质，结合f（x）与g（x）都是偶函数，则f（x）?g（x）也为偶函数，其函数图象关于Y轴对称，排除A，D；再由函数的值域排除B，即可得到答案．解答：解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）?g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）?g（x）→﹣∞，可排除B．故选C点评：要判断复合函数的图象，我们可以利用函数的性质，定义域、值域，及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．8.已知0为原点，双曲线=1(a>0)上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为

A．

B．

c．

D．参考答案：C【知识点】双曲线及其几何性质H6渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，

过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|?d=1，∴||?.=1，

∵-n2=1，∴a=2，∴c=，∴e=．【思路点拨】求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．9.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为

A.

B.

C.

D.参考答案：A，所以由得。，所以由得，由图象可知。。，由得，当时，不成立。所以，即，所以，选A.10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且＝(b－c，cosC)，＝(a，cosA)，//则cosA的值等于（）A．

B．－

C．

D．－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数（a为正实数）的模为2，则a=

.参考答案：由题意，，所以

12.已知，则的值为

▲

．参考答案：略13.在区间[－1,5]上任取一个实数b，则曲线在点处切线的倾斜角为锐角的概率为

．参考答案：∵，∴∴，∴．由几何概型，可得所求概率为．故答案为．

14.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y–5=0的直线方程为___________________参考答案：试题分析：直线2x+y–5=0的斜率为，所以所求直线斜率为，直线方程为，整理得

1考点：直线方程15.已知数列中，，且数列为等差数列，则

.参考答案：略16.若方程在区间上有解，则所有满足条件的实数值的和为

．参考答案：17.已知函数恒成立，则实数a的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．参考答案：【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα?x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．19.几何证明选讲如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：（Ⅰ）C、D、F、E四点共圆；（Ⅱ）.

参考答案：解：（Ⅰ）连接BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG.又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG.∴∠FDC+∠CEF=180°.∴C，D，F，E四点共圆.

…………5分（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC·GD.由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.∴△GCE∽△GFD.∴=，即GC·GD=GE·GF，

∴CH2=GE·GF.

…………10分

略20.（本小题满分12分）设函数。（1）当k>0时，判断上的单调性；（2）讨论的极值点。参考答案：（Ⅱ）函数的定义域是.令，得，所以当时，在没有根，没有极值点；当时，在有唯一根，因为在上，在上，所以是唯一的极小值点.

……12分21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）先证明OM∥PB，再证明OM∥平面PAB;（Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根据求出PA的长.【详解】（Ⅰ）证明：在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OM∥PB．又OM?平面PAB,PB?平面PAB，所以OM∥平面PAB．（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以又，三棱锥的高为PA，所以，解得．【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．参考答案：（Ⅰ）解：依题意，得

………………2分解得，．

………………3分所以椭圆的方程为．

………………4分（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．

………………6分

设，．所以

………………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则．………………10分因为，所以，

………………13分从而．