广东省广州市灵山中学2022年高三数学理测试题含解析

广东省广州市灵山中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则满足条件的实数组成的集合是（A）{1，4}

（B）{1，3}

（C）{1，3，4}

（D）{0，1，3，4}参考答案：D2.设集合，，则A．(－3,6) B．[6,+∞)

C．(－3,－2] D．(－∞,－3)∪(6,+∞)参考答案：C因为或，，又因为，，故选C.

3.设，，在中，正数的个数是A.

B.

C.

D.参考答案：D4.设集合，则等于(

)A．{1，2，3，4}

B．{1，2，4，5}C．{1，2，5}

D．{3}参考答案：B5.已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cosθ与θ的值．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈0，π]由?（+）=3可得?+=3，代入数据可得2×1×cosθ+22=3，解得cosθ=﹣，∴θ=．故选：C．【点评】本题考查了数量积与两个向量的夹角问题，是基础题．6.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②若则；

③若则．其中正确命题的是（

）A.①

B.①②

C.②③

D.①②③参考答案：D略7.已知一个空间几何体的三视图及其寸如图所示，则该空间几何体的体积是()A.

B.

C．14

D．7参考答案：A8.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略9.函数的图象中相邻的两条对称轴间距离为

(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A试题分析：函数解析式化简得，函数的周期为，由正弦函数图像可知相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则，故选A.考点：1.两角和的正弦公式；2.三角函数的与性质.10.方程的一个根是（

）A. B. C. D.参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有_______个.参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.N3

【答案解析】

解析：直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个.故答案为1.【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化成普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出。12.已知棱长为2的正方体中，为的中点，P是平面内的动点，且满足条件，则动点P在平面内形成的轨迹是

▲

．参考答案：圆略13.函数的反函数是

参考答案：14.函数的定义域是

．参考答案：15.在的展开式中，x5的系数为

．参考答案：-160

略16.已知，则的值为

．参考答案：由题意得.

17.已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角

A—BD—C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知函数，。（I）求不等式的解集；（II）若不等式有解，求实数的取值范围。参考答案：(Ⅰ)由题意得，得

………2分∴

………4分所以的取值范围是。

………5分（Ⅱ）因为有解所以有解

………7分

………9分∴所以，即的取值范围是。

………10分19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=4，解不等式f（x）＞2．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=的定义域为R转化为对任意实数x，有|x﹣2|+|x+5|﹣m≥0恒成立，然后利用绝对值的几何意义求得|x﹣2|+|x+5|的最小值得答案；（Ⅱ）把m值代入不等式，化为绝对值的不等式后再由绝对值的几何意义求解．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=的定义域为R，∴对任意实数x，有|x﹣2|+|x+5|﹣m≥0恒成立，即m≤|x﹣2|+|x+5|恒成立，由|x﹣2|+|x+5|的几何意义，即数轴上的动点x与两定点2、﹣5的距离之和得：（|x﹣2|+|x+5|）min=7，∴m≤7；（Ⅱ）当m=4时，f（x）=，由f（x）＞2，得＞2，即|x﹣2|+|x+5|＞8，结合|x﹣2|+|x+5|的几何意义，可得x或x，∴不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，）∪（）．21.抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．参考答案：解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以（1）又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a=0．于是代入（1）式得：，；令S'（b）=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且22.（本小题满分12分）

已知向量．（1）当时，求的值；（