广东省广州市广雅中学2022年高一数学理期末试题含解析

广东省广州市广雅中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二进制数110011（2）转化为十进制数为（）A． 51 B． 50 C． 49 D． 19参考答案：A2.已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A．

B．C．2

D．16参考答案：B3.今有一组实验数据，如表：x1.9933.0024.0015.0326.121y1.5014.4137.49812.0417.93现准备从以下函数中选择一个最能代表两个变量x、y之间的规律，则拟合最好的是（）A．y=2x﹣1+1 B．y=log2x C．y=x2－D．y=﹣2x﹣2参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】把（x，y）的值分别代入A，B，C，D中，能够找到拟合最好的函数模型．【解答】解：把（x，y）的值分别代入y=2x﹣1+1中，不成立，故A不是拟合最好的函数模型；把（x，y）的值分别代入中，不成立，故B不是拟合最好的函数模型；把（x，y）的值分别代入中，基本成立，故C是拟合最好的函数模型；把（x，y）的值分别代入y=﹣2x﹣2中，不成立，故D不是拟合最好的函数模型．故选：C．4.在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时测得一轮船在海岛北偏东，俯角为的处，匀速直行10分钟后，测得该船位于海岛北偏西，俯角为的处．从处开始，该船航向改为正南方向，且速度大小不变，则该船经过分钟后离开点的距离为A．千米

B．千米

C．千米

D．千米

参考答案：C略5.若x＞0，则函数与y2=logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质，分析出当a＞1时，两个函数的图象形状，可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数为增函数，且图象过（0，﹣1）点，向右和x轴无限接近，函数y2=logax（a＞0，且a≠1）为增函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时答案B符合要求，当0＜a＜1时，函数为减函数，且图象过（0，﹣1）点，函数y2=logax（a＞0，且a≠1）为减函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象．故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．6.已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为(

)A．{0，2} B．{1，3} C．{0，1，3} D．{2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析集合A与B的全部元素，由交集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}；故选B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是理解交集的含义．7.下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略8.如果点同时位于函数及其反函数的图象上，则的值分别为（

）。

A、

B、

C、

D、参考答案：A9.若

=(2,3),=(4,-1+y)，且，则

（

）A、6

B、5

C、7

D、8

参考答案：C略10.若，且，则角是（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第四象限

D．第三象限参考答案：D因为，所以角在第二、三象限，因为，所以所以角在第四、三象限，因此角在第三象限，

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；

（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）

______．参考答案：(2)

(5)12..如图在△ABC中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为____．参考答案：【分析】连接，由向量的数量积公式求出，利用三角形中线的性质得出，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得，结合二次函数的性质可得最小值.【详解】连接，在等腰三角形中，，所以,因为是三角形的中线，所以，同理可得，由此可得，两边平方并化简得,由于，可得，代入上式并化简得，由于，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查二次函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，综合性较强，属于难题.13.数列{an}的通项公式为an＝已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于：

参考答案：4814.角α的终边经过点，且,则__________.参考答案：或1

15.已知等差数列{an}的公差d不为0，且成等比数列，则

。参考答案：216.关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；

③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：

。参考答案：①③略17.数据的方差为，平均数为，则数据的标准差为，，平均数为

参考答案：，略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点和，AB所在直线的方程为.（1）求对角线BD所在直线的方程；（2）求AD所在直线的方程.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根据坐标求得和中点；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线斜率和在直线上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线和的方程解得点坐标，从而求得；由平行关系可知，利用点斜式写出直线方程.【详解】（1）由和得：，中点四边形为菱形

，且为中点，对角线所在直线方程为：，即：（2）由，解得：

直线的方程为：，即：【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.19.已知≤≤1，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令．

（1）求的函数表达式；

（2）判断函数在区间[，1]上的单调性，并求出的最小值.参考答案：（2）设则

上是减函数.

……………10分

设

则上是增函数.…12分∴当时，有最小值．…14分20.已知函数f（x）=|x+3|﹣|x+a|是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）画出函数f（x）的图象；

（3）写出函数f（x）的值域．参考答案：【考点】函数的图象；函数的值域．【专题】作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数为奇函数，得到f（0）=0，得a=﹣3，（2）化为分段函数，画图即可，（3）由图象可得得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+3|﹣|x+a|是R上的奇函数．∴f（0）=0，得a=﹣3，当a=﹣3时，f（x）=|x+3|﹣|x﹣3|，f（﹣x）=|﹣x+3|﹣|﹣x﹣3|=|x﹣3|﹣|x+3|=﹣f（x），满足题意∴a=﹣3，（2），如图所示．（3）由图象可知f（x）的值域是[﹣6，6]．【点评】本题考查了函数的奇偶性，函数图象的画法，以及函数的值域，属于基础题．21.已知点关于直线的对称点为，且对直线恒过定点，设数列{an}的前n项和Sn，且,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列的前n项和，证明:对一切正整数n,有参考答案：(1)；(2)见证明【分析】（1）先通过点线的位置关系求出的值，再带入与的关系式中，再利用公式求出（2）由（1）知，再利用放缩法证明不等式。【详解】解：(1)由已知解得，.

①当时,

②由①—②得

数列是以首项为,公差为1的等差数列.当时,上式显然成立,(2)证明:由(2)知,①当时,,原不等式成立.②当时,,原不等式亦成立.③当时,当时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.【点睛】关于的常见放缩有。22.已知复数在复平面内所对应的点为A．（1）若复数为纯虚数，求实数m的值；（2）若点A在第二象限，求实数m的取值范围；（3）求的最小值及此时实数m的值．参考答案：（1）由…………2分解得……………………