广东省广州市增城市新塘镇永和中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省广州市增城市新塘镇永和中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若如图的程序框图输出的，可输入的的值的个数为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D2.公差不为零的等差数列的前项和为。若是与的等比中项，，则等于（

）A.18 B.24 C.60 D.90参考答案：C因为是与的等比中项，所以，又，即，解得，所以，选C.3.下列不等式中正确的是（

）A．

B.

C．

D.参考答案：A略4.已知sin（α－）=，则cos（α+）=（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．5.直线与圆相交于M、N两点，若的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A.

B.4

C.2

D.参考答案：B7.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（

） (A)

(B) (C)(1,+∞)

(D)参考答案：B略8.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，并且,则双曲线的离心率为(

）A．

B．

C.2

D．参考答案：A9.已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为(

)A．3,23,69

B.4,24,70

C.4,23,70

D.3,24,70参考答案：B10.在平行四边形中分别边的中点，且，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（Ⅰ）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；（Ⅱ）设锐角的内角A、B、C的对应边分别是，且，若向量与向量平行，求的值。参考答案：解：（1）………..3分，……..4分

所以当，取得最大值；当，取得最小值；………..6分（2）因为向量与向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，经检验符合三角形要求………..12分

略12.若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是．

参考答案：（﹣3，3）考点： 不等式的基本性质；不等关系与不等式．专题： 计算题．分析： 由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得α﹣|β|的取值范围．解答： 解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3，故答案为（﹣3，3）．点评： 本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，属于基础题．13.已知等比数列的公比为，若，则参考答案：6【考点】等比数列【试题解析】由题知：

所以14.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=．参考答案：2略15.已知函数，且，则的值为_

．参考答案：16.已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为

．参考答案：

17.若x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到使取最大值的最优解，求出其最大值，在的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），∴的最大值为3，则的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图是单位圆上的动点，且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，为正三角形.若点的坐标为.

记．（1）若点的坐标为,求的值；

（2）求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知，，得，.................................2分所以＝..........................5分（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以，所以==...............................6分所以=.........7分

,

,即,.................................9分.................................10分

略19.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知，若矩阵所对应的变换把直线变换为它自身。（Ⅰ）求矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。参考答案：（Ⅰ）法一：设为直线上任意一点其在的作用下变为则

--------------------3分代入得：其与完全一样得则矩阵

---------------------------------5分法二：在直线上任取两点（2、1）和（3、3），

---------------1分则,即得点,,即得点,

------------------------------------------------3分将和分别代入得

则矩阵．---------5分（Ⅱ）因为，所以矩阵M的逆矩阵为．

-------------7分20.在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．参考答案：

考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=﹣1，即可求出直线l的方程；（2）设直线l：y=k（x﹣3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△PAB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍负）；（3）设直线l方程为y=k（x﹣3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根与系数的关系得到，然后化简kAD+kBD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．解答：解（1）∵椭圆方程为∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且点A在x轴的上方，…（2分）∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…（5分）将直线与椭圆方程联列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）∴…（9分）因此，可得S△PAB=化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）

而，，…（14分）∴=由此化简，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）将（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）点评：本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和BC的斜率之和为0的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．21.不等式选讲已知。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若不等式对一切实数恒成立，求实数x的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，

∴

所以的取值范围是

………5分（Ⅱ）同理，

………7分若不等式对一切实数恒成立，则，解集为

………10分略22.

设n为≥2的自然数．证明方程xn＋1＝yn＋1在x与n＋1互质时无正整数解．参考答案：证明：xn＝yn＋1－1＝(y－1)(