广东省广州市大敦中学2023年高三数学文月考试题含解析

广东省广州市大敦中学2023年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点M（2，3），则∠的角平分线的斜率为A.1

B.

C.2

D.参考答案：C由椭圆+=1，则F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，故选：C

2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为（A）6 （B）19（C）21 （D）45参考答案：C分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.

3.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.4.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是

A．

B．

C．

D．参考答案：B根据根与系数之间的关系得，由，所以，即，由，所以，选B.5.命题“对任意R，都有”的否定是

A．存在R，使得

B．不存在R，使得

C．存在R，使得

D．对任意R，都有参考答案：C6.设集合，，则（

）A．B．C．D．参考答案：【知识点】交集的运算.A1A

解析：因为集合，化简为，所以，故选A.【思路点拨】先化简集合M，再求其交集即可。7.函数的一个单调增区间为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

（

） A． B．

C． D．参考答案：B9.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B10.已知下列四个命题：p1：若f（x）=2x﹣2﹣x，则?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p2：若函数f(x)=为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（0，+∞）；p3：若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）；p4：已知函数f（x）的定义域为R，f（x）满足f(x)=且f（x）=f（x+2），g(x)=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上所有实根之和为﹣7．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】p1：根据奇函数的定义判定即可；p2：求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可；p3：先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围p4：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．【解答】解：关于命题p1：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故命题p1正确；关于命题p2：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）eax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）eax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）；故命题p2是假命题；关于命题p3：由题意，y′=lnx+1﹣2ax令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数y=xlnx﹣ax2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）；故命题p3正确，关于命题p4：∵，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=；又，∴g（x﹣2）﹣2=，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，x1=﹣3，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3满足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为﹣7．故命题p4正确；故选：C．【点评】本题考查均值不等式，主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若存在这样的实数，对任意的，都有成立，则的最小值为

。参考答案：2略12.设函数_________.

参考答案：知识点：其他不等式的解法解析：由题意，得及，解得及，所以使得成立的的取值范围是；故答案为：。【思路点拨】利用分段函数将得到两个不等式组解之即可．

13.函数（）的最小值为

参考答案：2514.如图为一个棱长为2cm的正方体被过其中三个顶点的平面削去一个角后余下的几何体，试画出它的正视图

．

参考答案：（所画正视图必须是边长为2cm的正方形才给分）略15.已知函数图象的一条对称轴为，记函数的两个极值点分别为，，则的最小值为

．参考答案：

考点：函数的极值，三角函数图象的对称性．【名师点睛】由于正弦函数的对称轴是，对称轴与函数图象交点为最低点或者是最高点，即对应的函数值最大或最小，反之亦成立．（余弦函数也如此），因此的对称轴对应的值就是函数的极值点，反之亦成立．利用此结论可以容易地解与三角函数的极值或对称轴有关的问题．类似地，函数的对称中心就是函数的零点．16.已知实数x，y满足则的最大值为

．参考答案：8画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得，平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为（3,2）．∴．答案：8

17.设双曲线的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，，则双曲线C的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.参考答案：（5,0）

5【分析】根据题意，画出图象结合双曲线基本性质和三角形几何知识【详解】如图所示：直线过点，，半焦距，则右焦点为为中点，，由点到直线的距离公式可得，，由勾股定理可得：，再由双曲线定义可得：，则离心率故答案为：（5,0）

5【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线，属于中等题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a，b，n∈N*，且a≠b，对于二项式（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式；（2）求证：存在p，q∈N*，使得等式=﹣与（a﹣b）n=p﹣q同时成立．参考答案：考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（1）当n=3，4时，利用二项式定理把二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式．（2）分n为奇数、n为偶数两种情况，分别把展开，综合可得结论；同理可得=+，从而证得p﹣q=（a﹣b）n．解答：（1）当n=3时，=（a+3b）﹣（b+3a）=﹣；当n=4时，=a2﹣4a+6ab﹣4b+b2=（a2+6ab+b2）﹣4（a+b）=﹣，显然是﹣（p，q∈N*）的形式．（2）证明：由二项式定理得=?（﹣1）i???，若n为奇数，则=[?+??b+…+??]﹣[?+?+…+?]，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为μ﹣λ的形式，其中μ，λ∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．若n为偶数，则=[?+??b+…+?]﹣[?+?+…++…+??]，类似地，可将上式表示为μ′﹣λ′的形式，其中μ′，λ′∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．所以存在p，q∈N*，使得等式=﹣，同理可得可以表示为=+，从而有p﹣q=（﹣）（﹣）=?=（a﹣b）n，综上可知结论成立．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，直线与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长.参考答案：曲线的普通方程为.联立解得或所以，，所以.20.（本小题满分12分）空气质量指数（AQI）是衡量空气质量好坏的标准，下表是我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中，随机抽取的40天的统计结果：空气质量指数（AQI）国家环保标准频数（天）频率[0,

50]一级（优）4

(50,100］二级（良）20

(100,150］三级（轻度污染）8

(150,200］四级（中度污染）4

(200,300］五级（重度污染）3

(300,∞)六级（严重污染）1

（1）若以这40天的统计数据来估计，一年中（365天）该市有多天的空气质量达到优良？（2）若将频率视为概率，某中学拟在今年五月份某连续的三天召开运动会，以上表的数据为依据，问：①这三天空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率；②这三天恰好有一天空气质量不达标（指四、五、六级）的概率．参考答案：设表示空气质量达到第级的概率则，，，，，（1）依题意得（天）…4分（2）①……………4分②…4分21.设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足且，.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求的前n项和Tn.参考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由，当时，，当时，，，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，又因为数列是等差数列，且，，所以，可得数列的通项公式为.（2）①②①-②得，整理得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.（2017?贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：ex＞f′（x）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．（2）要证ex＞f′（x），即证ex＞lnx+2，x＞0时，易得ex＞x+1，即只需证明x＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，