广东省佛山市高明第二高级中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

广东省佛山市高明第二高级中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A． 10 B． 20 C． 30 D． 40参考答案：B考点： 直线与圆相交的性质．专题： 压轴题．分析： 根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．解答： 解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20．故选B点评： 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．2.函数的零点所在的一个区间是（）A．B．

C．

D．参考答案：B3.ω是正实数，函数在上是增函数，那么（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.若，则下列不等式成立的是

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．

B．7 C．6 D．参考答案：A【考点】等比数列．【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10．【解答】解：a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．6.已知直线经过一、二、三象限，则有（

）A．k<0，b<0 B．k<0，b>0 C．k>0，b>0

D．k>0，b<0参考答案：C7.直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，则a=（）A． B．

C．±3 D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，∴圆心（0，0）到直线x+y+a=0的距离为：=，即=，解得：a=，故选：D8.若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（） A． B． C． D．参考答案：B考点： 直线的斜率；两条直线的交点坐标．专题： 计算题．分析： 联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．解答： 解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．故选B．点评： 此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．9.（5分）f（x）=的定义域为（） A． （0，1]∪（1，2] B． [0，1）∪（1，2） C． [0，1）∪（1，2] D． [0，2）参考答案：B考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据指数幂的定义，二次根式的性质，得到不等式组，解出即可．解答： 由题意得：，解得：0≤x＜2且x≠1，故选：B．点评： 本题考查了函数的定义域问题，考查了指数幂的定义，二次根式的性质，是一道基础题．10.函数的定义域为()A．(1,3]

B．(1,2)∪(2,3]

C．(1,9]

D．(1,2)∪(2,9]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为

．参考答案：2x+y﹣3=0【分析】利用斜率计算公式可得：kAB，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得kCH．再利用点斜式即可得出．【解答】解：kAB==，∴kCH=﹣2．∴AB边上的高CH所在直线的方程为：y=﹣2x+3．故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于

．参考答案：an=2n+2【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3=4，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，当n=1时，2n+2=4=a1，适合上式∴an=2n+2．故答案为2n+2，（n∈N*）13.（5分）若cosθ＞0，sin2θ＜0，则角θ的终边位于第

象限．参考答案：四考点： 象限角、轴线角；三角函数值的符号．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由题意可得cosθ＞0，sinθ＜0，根据三角函数在各个象限中的符号，得出结论．解答： 由于cosθ＞0，可得θ为第一、第四象限角，或θ的终边在x轴的非负半轴上．再由sin2θ=2sinθcosθ＜0，可得sinθ＜0，故θ是第三、第四象限角，或θ的终边在y轴的非正半轴上．综上可得，角θ的终边位于四象限，故答案为四．点评： 本题主要考查象限角、象限界角的定义，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.已知向量，的夹角为60°，，，则______．参考答案：1【分析】把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．【详解】由向量，的夹角为60°，且，，则.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．15..如图在△ABC中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为____．参考答案：【分析】连接，由向量的数量积公式求出，利用三角形中线的性质得出，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得，结合二次函数的性质可得最小值.【详解】连接，在等腰三角形中，，所以,因为是三角形的中线，所以，同理可得，由此可得，两边平方并化简得,由于，可得，代入上式并化简得，由于，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查二次函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，综合性较强，属于难题.16.已知函数f（x）=，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是．参考答案：①②【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；②根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；③根据函数图象的平移即可得到结论；④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数【解答】解：∵f（x）=，画出函数的图象如图所示∴函数f（x）的增区间为{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z}即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}，∴区间[﹣，]是函数f（x）一个增函数：故①正确，∴函数f（x）图象的对称中心为2x+=kπ，即x=kπ﹣，当k=1时，x=，∴点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故②正确，对于③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到，故③错误；对于④x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣1，]，故④错误．故答案为：①②【点评】本题考查了正弦函数的单调性及对称性，同时要求学生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．17.设是关于m的方程的两个实根，则的最小值是

。

参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；Ks5u(2)证明：对于一切正整数，有.参考答案：解：（1），

令

-

------------------------------------------------------2分

（ⅰ）当时，

--------------------------4分（ⅱ）当时，,

数列为等比数列，所以，

----------------------------8分（2）证明:（ⅰ）当时，--------------10分

（ⅱ）当时，

即;所以：对于一切正整数，有.-----Ks5u------------------15分19.（本小题满分13分）如图，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x,试写出左边部分的面积y与x的函数解析式。

参考答案：过点分别作，，垂足分别是，...2分因为ABCD是等腰梯形，底角为，，所以，......4分又，所以6分⑴当点在上时，即时，；

......8分⑵当点在上时，即时，...10分⑶当点在上时，即时，=

........12分所以，函数解析式为

.......13分20.（本小题满分12分）设且，（1）求的值（2）求参考答案：（1）（2）21.在中，角、、的对边分别为、、，，解此三角形.参考答案：或由正弦定理得：，当

同理，当

或22.已知函数为定义域为R的奇函数．（1）求实数a和b的值，并判断并证明函数f(x)在(1,+∞)上的单调性；（2）已知，且不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：（1），∴，

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