广东省佛山市国华纪念中学2021年高三数学理测试题含解析

广东省佛山市国华纪念中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．2.已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合直线的斜率公式，利用数形结合是解决本题的关键．3.设，i是虚数单位，则z的虚部为（

）A.1 B.-1 C.3 D.-3参考答案：D因为z=z的虚部为-3，选D.4.已知在等比数列{an}中，，则（

）A.16

B.8

C.4

D.2参考答案：C由得：，又因为，而所以，，即，又因为，而，所以，.故选C．5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)A．48

B．48+8

C．32+8

D．80参考答案：B6.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略7.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线C1的离心率为（）A. B.5 C. D.参考答案：C【分析】由双曲线C1与双曲线C2有相同的渐近线，列出方程求出m的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.设集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A，，故选A．9.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.参考答案：A略10.已知，为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若,,且,则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，则D．若，则参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是偶函数,则有序实数对可以是__________.(注:写出你认为正确的一组数字即可)参考答案：答案：解析：ab≠0，是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.12.如图，已知，过顶点的圆与边切于的中点，与边分别交于点，且，点平分.求证：.

参考答案：切割线定理

13.已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是

.参考答案：14.曲线：（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是

．参考答案：15.用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成▲个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．参考答案：216略16.已知是奇函数,且,若,则_______参考答案：-1略17.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有天．参考答案：28考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，利用频率=，求出对应的频率与频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；该市11月份空气污染指数在100内的频率为1﹣×10=，∴该市11份空气质量为优或良的天数有：30×=28．故答案为：28．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．（Ⅰ）求cosA及b的值；（Ⅱ）求cos(–2A)的值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【知识点】余弦定理；正弦定理．B4解析：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理==，得=，

…………2分因为C=2A，所以=，即=，解得cosA=．

…………4分在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2–2bccosA，

得b2–b+7=0，解得b=3，或b=．因为a，b，c互不相等，所以b=．

…………7分（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cosA2–1=–，…………11分∴cos(–2A)=cos2A+sin2A=．

…………13分【思路点拨】（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理以及C=2A，求出cosA，然后利用余弦定理求出b即可．（Ⅱ）利用二倍角公式求出sin2A，cos2A，然后利用两角差的余弦函数求解即可．19.（本小题满分13分）已知函数f（x）=lnx+cosx－（）x的导数为（x），且数列{an}满足。

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值：

（2）若对任意n∈N'*，都有an+2n2≥0成立，求a1的取值范围．参考答案：20.（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AC，BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．（III）设，由CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，利用向量法能求出线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，且．解：（Ⅰ）证明：在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴，，设平面PCD的法向量，则，取y=1，得，高平面PBD的法向量，则，取x1=1，得…（7分）∵，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值．…（9分）（III）解：∵Q在DP上，∴设，又∵，∴，∴Q（0，2﹣2λ，2λ），∴．…（10分）由（Ⅱ）可知平面PBD的法向量为，设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有：…（11分）∵CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，∴，解得，∵0＜λ＜1，∴…（12分）∴线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，且．…（13分）【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段上满足条件的点是否存在的判断和求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.定义为个正数的“均倒数”.已知各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设,试求数列的前项和.参考答案：解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

略22.（本小题满分13分）已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．

ABCA7205B9186Ca4b（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（Ⅲ）已知，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.参考答案：（Ⅲ）.试题分析：(Ⅰ)由题意可知＝0.18，得抽取的学生人数是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，得到，由，得到.（Ⅲ）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，由(Ⅱ)易知，且利用“列举法”知，满足条件的共有组，其中满足的有组，故可得.试题解析：(Ⅰ)由题意可知＝0.18，得.故抽取的学生人数是.

………………2分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，故，