广东省佛山市黄岐高级中学高三数学理期末试题含解析

广东省佛山市黄岐高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设直线x=k与函数

的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为

A．1

B．

C．

D．参考答案：D2.设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：B3.等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，则?+?+的值为（）A．25 B．36 C．9 D．18参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的运算法则，将前两项提出公因式，第三项，计算求得结果．【解答】解：等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，∴AB=AC=3，∴?+?+=?（+）+=+CA?CB?cos∠ACB=18+3?6?=36，故选：B．【点评】本题考查向量数量积的运算律，向量加法减法、数量积的运算，属于中档题．4.函数

的反函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C解析：有关分段函数的反函数的求法，选C。5.函数的图象大致是参考答案：D6.在棱长为1的正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略7.函数的图象

(A)关于轴对称

(B)关于轴对称

(C)关于原点对称

(D)关于直线对称参考答案：【知识点】余弦函数的图象．C3B

解析：∵余弦函数是偶函数,∴函数是偶函数，故关于y轴对称，故选B．【思路点拨】根据余弦函数是偶函数关于y轴对称可得答案．8.函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么正确的是（

）A．是的极大值点

B．=是的极小值点

C．不是极值点

D．是极值点参考答案：B9.若函数满足，且时，，函数，则函数－g(x)在区间内的零点的个数为 A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又因为时，，所以作出函数的图像：由图知：函数－g(x)在区间内的零点的个数为8个。10.已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．1 B． C． D．2参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值判断最优解，利用直线方程求解即可．【解答】解：a＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：且目标函数z=2x+y的最小值为1，可知目标函数经过可行域的A时，取得最小值，由解得A（1，﹣1），A在直线y=a（x﹣3）上，可得﹣1=a（1﹣3），解得a=，故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值与可行域的关系是解题的关键，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=．参考答案：【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：连接DF，BF，利用正六边形的性质和余弦定理即可得出（）与的夹角为120°，AC=3，再利用数量积的定义即可得出．解：连接DF，BF，则△BDF是等边三角形，∴与的夹角为120°，∵，即与的夹角为120°，∵AB=1，∴AC2=12+12﹣2×1×1×cos120°=3，∴AC=．即．∴==﹣．故答案为．【点评】：熟练掌握正六边形的性质和余弦定理、数量积的定义、向量的夹角是解题的关键．12.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y+3的最大值是

．参考答案：9【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=x+y+1的最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，三个顶点坐标为A（0，1），B（2，0），C（0.5，3）．由z的几何意义可知，当z过B时最大，所以zmax=3×2﹣0+3=9；故答案为：9．【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．也可以利用“角点法”解之．13.设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为

.

参考答案：14.甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为．参考答案：3615.命题“”的否定为

_________．参考答案：16.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．参考答案：略17.如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．参考答案：【考点】69：定积分的简单应用；CF：几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知且关于的不等式的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）直接解绝对值不等式，得出解集与已知解集对比可求的值；（Ⅱ）由，利用基本不等式或柯西不等式或转化成二次函数相关问题即可求的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，不等式可化为，…1分∴，即，………………3分∵其解集为，∴，.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式）∵，…8分∴，∴的最小值为.…………10分（方法二：利用柯西不等式）19.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C重合。（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.参考答案：解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系则的一个法向量，。即………..4分（2）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得………………10分为EC的中点，，到面的距离…………12分略20.已知椭圆C：（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x﹣1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理得x1+x2=，x1?x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣，∵P为线段AB的中点，则可得点P（，﹣），又直线PD的斜率为﹣，直线PD的方程为y+=﹣（x﹣），令y=0得，x=，又∵点D（，0），∴丨PD丨===，化简得17k4+k2﹣18=0，解得：k2=1，故k=1或k=﹣1，k的值±1．21.如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=．又MF=，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，即VF﹣ABCD=，∴FG=．又BC=EF=，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK=．又MF=，∴MF=GK且MF∥GK．四边形MFKG为平行四边形，∴GM∥FK，∴直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．，，．设平面ABM，ABF的法向量分别为，．由，则，取y=﹣，得，同理求得．∴cos＜＞=，∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．22.已知椭圆过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程；（3）是否存在实数k，使直线交椭圆于