广东省广州市东风实验中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市东风实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量等于

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°参考答案：B略2.

是成立的是（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：答案:A3.设随机变量，且，则实数的值为(

)A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：A由题意知.4.已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（

）A． B．

C．

D．参考答案：B5.满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（

）A.14

B.13

C.12

D.10参考答案：B6.已知为的重心，设，则＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知函数的值域为，则正实数等于A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：B8.若，其中，是虚数单位，则（

）A．0 B．2 C． D．5参考答案：D略9.函数y=的图象大致是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D10.函数的值域为A．[0,4]

B．(－∞,4]

C．[0,+∞)

D．[0,2]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(选修4—1几何证明选讲）如图，两个等圆⊙与⊙外切，过作⊙的两条切线是切点，点在圆上且不与点重合，则=

.参考答案：略12.若，且，则参考答案：13.由曲线y＝｜x｜，y＝－｜x｜，x＝2，x＝－2同成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，则V＝____________．

参考答案：略14.设是非空集合，定义．已知，则___________．参考答案：考点：1.新定义问题；2.集合的运算.15.在工程技术中，常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式

．参考答案：填入，，，四个之一即可．略16.设a>1．若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则a=

．参考答案：17.已知的取值范围是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上．（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，验证，即，从而可证BM∥平面ADEF；（II）利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为，确定点M为EC中点，从而可得S△DEM=2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，即可求得三棱锥M﹣BDE的体积．【解答】（I）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又是平面ADEF的一个法向量．∵，∴∴BM∥平面ADEF﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）解：设M（x，y，z），则，又，设，则x=0，y=4λ，z=2﹣2λ，即M（0，4λ，2﹣2λ）．设是平面BDM的一个法向量，则取x1=1得即

又由题设，是平面ABF的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴|cos＜，|==，∴λ=﹣﹣即点M为EC中点，此时，S△DEM=2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，∴VM﹣BDE=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知函数

（1）当a=-4时，求的最小值；

（2）若函数在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当t≥1时，不等式恒成立，求实数a的取值范围，参考答案：略20.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．21.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68

参考答案：【考点】简单线性规划的应用． 【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解． 【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y， 由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数． 由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大． 这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）． 故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元． 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 22.如图,多面体中,四边形是菱形,,,相交于,∥,点在平面上的射影恰好是线段的中点．(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值．参考答案：(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD,因为BD在平面ABCD内,所以EH⊥BD.又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH,AC在平面EACF内所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H-xyz因为EH⊥平面ABCD,所以∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,即∠EAH＝45°；又菱形ABCD的边长为4,则===.各点坐标分别为,E(0,0,),易知为平面ABCD的一个法向量,记n=,=,

=,因为EF//AC,

所以,设平面DEF的一个法向量为

(注意：此处