立体几何常见垂直模型

立体几何常见垂直模型高考对空间几何体的位置关系的考查主要为平行和生宜的讲明，包括线我的平行与垂直,线西的平行与垂直，面面的平行与垂直击种证明，主要限证明的序式出现在解答题中，同时也可潴以命题正误判断的渺占出现在小题中口空间的关系无非包括线线，•线面「面面三种，平行的证明比较容易掌握亡垂宜的证明却让很多同学深感航航r那么我/门就从定理出发，到思考垂直证明问题的眼■维模尤，到常见垂直的模型一一讲来口卡.续编垂直关系,①定义：若两直线成9炉角，则这两直线互相垂直）②一条百线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直,即若力，妥3则注，次③一条直霰垂直于一个平面，则垂直于这4平面内的任意一条直线•,即若&」一口小匚-aJ_b.裂.线而垂直关系V位定义；若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直,中②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面,即若mCdnCa：.fimA^D,l_Lm,】,_Ln』则1_L口…③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若1#叙得1%则1_LQ.¥④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于需一个平面，即若明〃E」1_LB,则11at.+J⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若口_LS,aD为二口，1仁为，1.1a,1±a.+J⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若U±丁，B_L¥，且aflS=口，则el_L¥.+13,面面垂直关系干①定义：两个平面相交，加果所感的二面角是直二面角，那名这两个平面互相垂直，即二面角ci—a—§=9。*0R_L0.V②如果一个平面经过另一汴平面的一条垂线，那幺这两个平面互相垂直,即若1_L0,L匚篇，则工日.v③若有个平面垂直于两个平符平面中的一个.也垂直于另一个.即若支—0,r_Ly-，则B_1_千，•将上述定理和性质归纳如下，/线线口岫线面口鼬面面&⑴线面垂直的判定已钻工mc⑴线面垂直的判定已钻工mcTn（z口，mfin=B;1J_mj1J_n,则⑵线面垂直的性质;若/A文附a则/人网』（各）面面垂直的判定占若』J"s,糖b3]&=R则以八bw⑷面面垂直的性质】若立八b,?】垢,苴则47g【例1】已知三棱锥£一ABC中，ZABC=9口、酮壕S£_L底面ABCAf±SC7.AE±SBD事证士EF±SCnPtW]---AFlSCc^-要证Zf±SC:*寰正SC_L平面ALE〃麋正SC」AE（如图1）…S'/BClAB,BC1SA,,'BC_L平面SAB,小nS3是SC在平面S.AB上的射哥口尸障鼠KE_LS居汜知），JEFqC一喏法提姆：看懂这道题容易，但同学们自己如何才能想得到应该这样做才是真正的问题所在！心记住二这类题如墨思路有阻，应从要证明的目标入手倒着分析，并且这里面的证明无非就是线线，线面.面面之间相互倒,且以线线口线面居多。“例如本题思考•的过程应如下：。要证EF_LBC即要证冢，面；^.已知推/c即要证式，证即票证JVE_L面见12揪?已先撇立即要证此心匚即要证BC±ffiSAB揪,殷联J即得证…逡种思路应勤加练习进行强化，养成良好的解题习惯1尸[例2]（20W东城期末）如图，四棱锥S-月3c。的底面是正方形，M_L平面MCD.工口=.2,月0=0,W是SZL上的点.求证：AC±BE.川K解析】连结33.因为底面也C门是正方形所以AC±BD.v因为屹_L平面泡/已白，上1。平面&＜2），平所以月C1班,3又因为⑼[19田=。工所以月仃，平面3as.4因为3总仁平面所以.再3_1£在。K例辅（天津理）如图，在四棱锥F-H3CD中，凡4_L底面3C。，一ABAC.LCD,£AEC=对,PA=AB=BC,3是FC的中点.w⑴证明（2”证明?£）_L平面理在；山I解析】11＞证四：在四犊键F—WECD中，因P4_L底面盘U。，CDu平面〃「£）,故E4_LCD.3,.■AC1CD,PAC\AC=Af，CD_L平面FW亡.3而月豆匚平面E4C,，CD」一月且.心（如证明：由F工二＜3=HC*/且5c下以*,可得/C二两.,,,.因是产二的中点1/■AEA.PC.打由.（I）知，工E_L切，且F^nC白二CS所以麴，平面FCD而产白匚平面FCD,,■,4?_LH?,=---融_L底面ABCD,ED在底面ABCD内的射影是拉＞：・AB±.£W,'.AB±PD."^'''ABC\AS=A,综上得正£）_1平面儿?E.J点常见模型/掌握上面思路后，就通过了第一道障碍，但在实际解题过程中要会遇到的第二道障碍就是如何去证明线线垂直,因为我们会发现其实证明线面和面面垂直都会最终转化为证明线线垂直的词题.下面我们就将常见的模型一一列出，供同学们学习：弃,以下依次为：等腰三角形的中绻蓑形的对角线相互垂直；勾股定理的三角形「:「的直角梯形或矩形中的连线支通过证明三角形相似或全等可得勃的直角。/

【例二】也。11朝阳期末上）如图;：已知三棱柱工？C-马比?]中，且4]_L底面.四C，.AC：=BC=2,必产4,AB=2^2,M,H夯别是棱上^中点口(1)求证；CW_L(1)求证；CW_L平面45比4；中(2)■求三棱雉员-金鲍W的体积.•【解析】:m二■证明：因为三棱柱3c-44,中，〃又因为CN匚平面ABC：＜所以AA-l±CN.+1*'因为/C=FC=2,曾是月5中点,"所以CW_L工E.，：因为/L4JAB=A,口所以CW」一平面四用招,举因为C7V(I平面.助必行肱仁平面加1站”.所以。加¥：平面达的1.Vm2］.（-2011东城一•模）已知四棱锥F-＜口。3的底面是菱形.PB=PD,且为用的中点.求证：平面FH1_L平面『7-4$-2-4$-2-4$-27'$-2-4$-2-4$7571解析工连结UF"因为F8=F口…H\所以。尸_1口。.口在菱形中，因为0尸［1月。=。型所以BD_L平面PAC3因为BDu平面BDE+j所以平面PACJ.平面BDE.+JI例第.匕。工工上半学期丰台期末）直三棱注启BL4&Q中启吕二04匚二mBdAAi-^口是4B的中点.卡求证：ACLBlJ：¥［解析］在AqBC■中，因为4日=5.启。=4，0C-3,小所以4O+EU4手，所以上ClLEC.〃因为直三棱柱HRC-RiR二C：,所以CCi±ZC.J因为ECTU片J+J所以4C_L平面B艮QCF所以4C_LB：匚口【例4】.（然1工上半学期海淀期末】8如图，棱柱ABCD-4当5口的底面ABCD为菱形ACC\BD=O,嬷儿&_Lsr点F为DC1的中点.制求证：平面及5齿，平豆HCGA#【解析】T四边附公其口为菱形*即又用口_L4L],月4n月口=&且44,达巴仁平面总比二4卡/.SD_L平面ECC].e..n7-i.-7T7XTc”不.VT7HnnciTT75Z公产干广7日

[例5]<2011海浣一模）如图；梯形/FC7?和正A所在平面互相垂直，其中ABHDQ7AL）=QD=--AB，且◎为[例5]<2011海浣一模）如图；梯形/FC7?和正A所在平面互相垂直，其中ABHDQ7AL）=QD=--AB，且◎为1解析】⑴因为。为月F中点，8CNUD；又D&仁平面POD,BC<1平面POD,^所以5广〃平面?口口口AB中点切求证工FC不平面FQD；心[II）求证：卫C_LPD』（工工）连接CC.因为血二SQ=如工8所以ADCO./平行四边形工又30=CO.所以ADCQ,为蓑形」口所以有CD=B5C0门0%所以。DCS为平行四边形।所以所以B。=g力凡又出〃⑪,CD=--AB2又因为平面ABCD_L平面FAB,平面ABC.D「平面£45=,所以F@_L平面所以因为正三阴形又因为平面ABCD_L平面FAB,平面ABC.D「平面£45=,所以F@_L平面所以因为正三阴形F』四，◎为工5中点，口所以PQ±.^…ABCD,而达Cu平面ABCD>所以FOLRCSv又FUC□炉工0、所限工C_L平面FQD*又FZ?匚平面POD,所以AOI.FD+【例G匕口口上半学期东城期末）如图，正方形江郎与梯形所在的平面互相垂直」也_1熨，ABUCD.AE>=AL)=2.,：CD=4膈为二区的中点,*（I〕求证：BM/7平面ADEF"--（II）求证：平面_L平面8WC.f【解析】（I）,取口51中点g连结/队』Ri在中，啦,V分别为在邑3。的中点；4由已知超*仃0，ABS-""2所以旭2且■=f由已知超*仃0，ABS-""2所以旭2且■=f所以匹也形为平行四边形.4所以哈内又因为枷匚平面月也期,^.BM平面司即，平鼠已京以FM"平面心题.?£II),因为.40即为正方形，+1所以EA_L.W.j又因为平面给即_L平面川C。，且平面越郎n平面疑仃门=/0,又因为E口匚平面ADEF,+J所以ED」一平面.眸口.所以E£?_LBC.¥在直：ffl悌形班匚。中,超二40=22CD=4..可得£匚二2点1p在△FC口中，B口二BC=2系,C□二A,所以5C_L9O.小所以BC_L平面氏口口,"又因为匚平面FCS1,u所以平面B口总_L平面BEC,卡+J1例71(2典1上半学期西城期末)如图，在三犊柱度C-4用6中，侧面』。舄当埼为正方形，/反4c=9%□为8c中点求证：(I)〃・平面也.；J.(II),G工，。中E解析】:(I)连结4C,设AC交且G于点。，隹结。白T因为WCC1居为正方形♦.所以O为居C中点，V又D为3c中点，所以为A49c的中位线