积分变换第4版讲义12Fourier变换

Fourier变换ssss1.2本节内容四、小结一、Fourier变换的概念二、单位脉冲函数及其Fourier变换三、非周期函数的频谱1.若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有f(t)的Fourier变换记作:F(w)叫做f(t)的象函数.一、Fourier变换的概念F(w)的Fourier逆变换记作:f(t)叫做F(w)的象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.一、Fourier变换的概念象原函数.2、Fourier变换的奇偶虚实性质1)F(w)和f(t)有相同的奇偶性.2)f(t)为t的实值函数的充要条件是F(w)的实部为w的偶函数,虚部为w的奇函数.3)f(t)为t的虚值函数的充要条件是F(w)的实部为w的奇函数,虚部为w的偶函数.一、Fourier变换的概念3.Fourier正弦变换及正弦逆变换:当f(t)为奇函数时,Fourier正弦变换一、Fourier变换的概念Fourier正弦逆变换一、Fourier变换的概念当f(t)为偶函数时,Fourier余弦变换一、Fourier变换的概念Fourier余弦逆变换一、Fourier变换的概念例1解求函数的Fourier变换及其积分表达式,有根据的积分性质,得例1利用奇偶函数因此,得例1例2解求函数的Fourier变换及其积分表达式,有令例2则为复平面s上的解析函数,取如图的闭曲线由Cauchy积分定理有:例2实轴虚轴矩形当时,有例2同理,当时,有例2即钟形脉冲函数的Fourier变换为例22)钟形脉冲函数的积分表达式积分性质,有由例2利用奇偶函数的例2例3解求函数的正弦变换和余弦变换.由正弦变换为余弦变换为例3在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t)、以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过导体截面的电荷函数,则引例二、单位脉冲函数及其Fourier变换由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点的导数不存在、二、单位脉冲函数及其Fourier变换如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示上述电路的电流强度、为了确定这种电路上的电流强度,必须引进一个新的函数,这个函数称为Dirac函数,简单地记成d-函数、二、单位脉冲函数及其Fourier变换对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足则称

的弱极限为d-函数,记为d(t).二、单位脉冲函数及其Fourier变换表明d-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限.的图形二、单位脉冲函数及其Fourier变换d

-函数的定义:任何，有工程上,常将d-函数称为单位脉冲函数.可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.二、单位脉冲函数及其Fourier变换1.d-函数的性质:证明:若

为无穷次可微的函数,则有1)筛选性质:二、单位脉冲函数及其Fourier变换由于

为无穷次可微的函数,则f(t)是连续函数,由积分中值定理,有二、单位脉冲函数及其Fourier变换同理可得2)d-函数的导数若f(t)为无穷次可微的函数,则有同理可得二、单位脉冲函数及其Fourier变换3)d

-函数是偶函数:证明:二、单位脉冲函数及其Fourier变换4)d-函数是单位阶跃函数的导数:称为单位阶跃函数、5)时间尺度变换性质:其中为任意正数.二、单位脉冲函数及其Fourier变换6)卷积性质7)乘以时间函数的性质其中为任意常数.为在处连续的任意函数.二、单位脉冲函数及其Fourier变换1)

的Fourier变换对2.d

-函数的Fourier变换二、单位脉冲函数及其Fourier变换可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一个Fourier变换对.2)

的Fourier变换对二、单位脉冲函数及其Fourier变换可见,与构成了一个Fourier变换对.二、单位脉冲函数及其Fourier变换例4解证明单位阶跃函数的Fourier变换为则例4例4表明

的Fourier变换为例4例5解求正弦函数的Fourier变换.根据Fourier变换的公式,有例5三、非周期函数的频谱1.周期函数的频谱对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波的振幅为其中在复指数形式中，第次谐波且三、非周期函数的频谱对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波的振幅为各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图的概念：频率和振幅的关系图.频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱.表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量及各分量占的比重.三、非周期函数的频谱描述了离散频谱的性质：频谱图形关于直线对称.相交频谱是的奇函数，即三、非周期函数的频谱2)非周期函数的频谱非周期函数,当它满足Fourier积分定理中的条件时,则在的连续点处可表示为其中为它的Fourier变换.三、非周期函数的频谱在频谱分析中,Fourier变换

称为的频谱函数,而频谱函数的模称为的振幅频谱.由于是连续变化的,因此称为连续频谱.对一个时间函数作Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱函数.三、非周期函数的频谱非周期函数信号的频谱性质：是的奇函数，即随的增大而减小.三、非周期函数的频谱例6解作图中所示单个矩形脉冲的频谱图.根据上面的讨论,单个矩形脉冲的频谱函数为再根据振幅频谱作出频谱图例6例7解作指数衰减函数的频谱图.由得因