高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试（全国一等奖）

选修2-2第二章2.1.一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程eq\x(导学号10510519)()A．省略了大前提 B．省略了小前提C．是完整的三段论 D．推理形式错误[答案]A[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中eq\x(导学号10510520)()A．大前提正确，结论错误 B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误 D．大前提错误，结论错误[答案]D[解析]如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a⊂平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.3．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是eq\x(导学号10510521)()A．BM是定值 B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1[答案]C[解析]由线面位置关系易知A、B、D正确，C错误，如图，取CD的中点Q，连接MQ，BQ，∵M为A1C的中点，∴MQeq\f(1,2)A1D，∵E为AB中点，四边形ABCD为矩形，∴BQDE，∵矩形ABCD中，AB＝2AD，△A1DE≌△ADE，∴MQ，BQ为定值∠MQB＝∠A1DE＝∠ADE为定值，∴BM为定值，又B为定点，∴点M在以B点为球心，BM为半径的球面上运动，∴A、B选项正确；由于BQ∥DE，MQ∥A1D，∴平面BMQ∥平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故D正确；若DE⊥A1C，由于DE⊥EC，则DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥EA14．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是eq\x(导学号10510522)()A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论[答案]C[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5．(2023·长春外国语学校高二检测)有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为eq\x(导学号10510523)()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误[答案]C[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．6．(2023·锦州市高二检测)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是eq\x(导学号10510524)()A．三段论推理 B．假言推理C．关系推理 D．完全归纳推理[答案]A[解析]∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.二、填空题7．求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是eq\r(a)有意义时，a≥0，小前提是eq\r(log2x－2)有意义，结论是\x(导学号10510525)[答案]log2x－2≥0[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.8．以下推理过程省略的大前提为：\x(导学号10510526)∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.9．设函数f(x)＝eq\f(ex,x2＋ax＋a)，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是\x(导学号10510527)[答案]0<a<4[解析]因为f(x)的定义域为R，所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a<0.所以0<a即当0<a<4时，f(x)的定义域为R.三、解答题10．将下列演绎推理写成三段论的形式.eq\x(导学号10510528)(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[答案](1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论一、选择题1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中eq\x(导学号10510529)()A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误[答案]A[解析]∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A.2．下面几种推理过程是演绎推理的是eq\x(导学号10510530)()A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式[答案]A[解析]选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．二、填空题3．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为\x(导学号10510531)[答案]如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面4．(2023·深圳高二检测)已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为\x(导学号10510532)[答案][0，eq\f(5,4)]∪{2}[解析]由2sin2α＋sin2β＝3sinα得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－(sinα－eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)且sinα≥0，sin2α∈[0,1]．因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，所以0≤3sinα－2sin2α≤1.解之得sinα＝1或0≤sinα≤eq\f(1,2)，令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2.当0≤sinα≤eq\f(1,2)时，0≤y≤eq\f(5,4).所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，eq\f(5,4)]∪{2}．三、解答题5．判断下列推理是否正确？为什么？eq\x(导学号10510533)①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析]①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．6．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤\x(导学号10510534)(1)求证：|c|≤1.(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.[证明](1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－