高中数学北师大版第一章立体几何初步 单元测试三简单几何体的面积和体积

单元测试三简单几何体的面积和体积班级____姓名____考号____分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个大球的半径为()A．2\r(2)\r(3,2)\f(1,2)eq\r(3,4)答案：C解析：根据体积不变：eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，解得r＝eq\r(3,2).2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x，表面积为108，则x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.3．设等腰梯形ABCD是圆台的一个轴截面，且AD∥BC，AB＝3，AD＝2，BC＝4，则圆台的侧面积为()A．9πB．10πC．14πD．18π答案：A解析：由圆台的轴截面及相关数据知圆台的底面半径分别为1,2，母线长为3，则圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝π(1＋2)×3＝9π.4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：A解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，所以球的表面积为S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.5．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A．3eq\r(2)＋eq\r(3)\r(2)＋3eq\r(3)C．2eq\r(2)＋3eq\r(3)D．3eq\r(2)＋2eq\r(3)答案：B解析：该几何体是上面是正四棱锥，下面为正方体的组合体，体积为V＝(eq\r(3))3＋eq\f(1,3)×(eq\r(3))2×eq\r(2)＝3eq\r(3)＋eq\r(2).6．一个棱长为a的正方体的顶点都在一个球面上，该球的表面积为3π，则a等于()A．1\r(2)\r(3)D．2答案：A解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，所以球的表面积为S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.7．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积比是()A．1：2：3B．1：7：19C．3：4：5D．1：9：27答案：B解析：考查几何体的体积．可以直接求，也可以用间接法．本题还可以选取特例或特殊值．根据锥体的平行截面性质，如图所示，三个圆锥高的比是1：2：3，从而它们的体积比是1：8：27.圆锥被分成的三部分的体积的比是1：7：19.8．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，高为1，M为线段AB的中点，则三棱锥C－MC1D1的体积为()\f(1,2)\f(1,3)C．1\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1DC·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).9．已知轴截面是正方形的圆柱，高与球的直径相等，则圆柱的表面积和球的表面积的比是()A．65B．54C．43D．32答案：D解析：设球半径为R，则圆柱的高为2R，底面圆的半径为R，eq\f(S柱,S球)＝eq\f(2πR2＋2πR·2R,4πR2)＝eq\f(3,2).10．球面上有A，B，C三点，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(2)，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为()A．4πB．6πC．12πD．4eq\r(3)π答案：C解析：由题意知AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，故△ABC所在圆的圆心在斜边BC的中点处，则有R2＝12＋(eq\r(2))2＝3，所以S球＝4πR2＝4π×3＝12π，故选C.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．一个球的表面积是144πcm2，它的体积是________．答案：288πcm3解析：由公式得S＝4πR2＝144π，故R＝6.则V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)×63＝288π.12．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________.答案：1＋eq\f(\r(2),6)解析：该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，体积V＝1＋eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝1＋eq\f(\r(2),6).13．现要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，那么仓库的容积的最大值是________m3.答案：300解析：设仓库的长为x，则仓库容积为3x(20－x)＝－3x2＋60x＝－3(x－10)2＋300，所以当仓库底面为一边长为10m的正方形时，容积最大为300m3.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知圆台的上、下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解：设圆台的上、下底面半径为r、R，母线为l，则有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝eq\f(πr2＋πR2,πr＋R)＝eq\f(22＋52,2＋5)＝eq\f(29,7).即该圆台的母线长为eq\f(29,7).15．长、宽、高分别为80cm,60cm,50cm的水槽中有水216000cm3.(1)求水槽中水面高度；(2)现在水槽中放入一个直径为30cm的铁球，求此时水面的高度(结果保留一位小数)．解：设水面高度为xcm，(1)由80×60x＝216000得x＝45，所以水面高度为45cm.(2)球体积为eq\f(4,3)πr3＝4500π，水槽体积为80×60×50＝240000，由于240000－216000＝24000>4500π，所以80×60x＝216000＋4500π，x＝45＋eq\f(15,16)π≈此时水面高度约为cm.16．已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，求它的体积和表面积．解：由题意设AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，则底面BC边上的高为eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，所以体积为V＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)cm3，表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋(3＋3＋2)×4＝4eq\r(2)＋32(cm2)．17．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．解：(1)如图所示，作轴截面，⊙O1内切于△ABC.设⊙O的半径为R，由题意，得eq\f(4,3)πR3＝972π，R3＝729，R＝9，∴CE＝18.由已知CD＝16，故ED＝2.连结AE，∵CE是⊙O的直径，∴CA⊥AE，又AB⊥CE，∴CA2＝CD·CE＝16×18＝288，CA＝12eq\r(2).AD2＝CD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).于是S圆锥侧＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)设内切球半径为r.∵△ABC的周长为2×(12eq\r(2)＋4eq\r(2))＝32eq\r(2)，∴eq\f(1,2)r×32eq\r(2)＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×16.∴r＝4，于是V内切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(256,3)π.18．斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC的射影O是△ABC的中心，AA1与AB的夹角为45°.(1)求证：AA1⊥面A1BC；(2)求此棱柱的侧面积；(3)求此棱柱的体积．解：(1)如图所示，∵底面△ABC为正三角形，点A1在面ABC上的射影点O为△ABC的中心，∴点O在AD上，(D为BC中点)．∵AD⊥BC，∴BC⊥AA1.又∵A1点在面ABC上射影点O为△ABC的中心，而△ABC为正三角形，OA＝OB，∴A1A＝A1B.又∵∠A1AB＝45°，∴△A1AB为等腰直角三角形，即AA1⊥A1B.∵AA1⊥BC，A1B∩BC＝B，∴AA1⊥面A1BC.(2)∵底面△ABC为正三角形，且点A1在面ABC上的射影点O为△ABC的中心，∴侧面AA1B1B与侧面AA1C1C全等，由(1)知侧面BB1C1C为矩形．∵AB＝2，∴S▱AA1C1C＝2S△AA1B＝2×(eq\r(2))2×eq\f(1,2)＝2，S▱BB1C1C＝2×eq\r(2)＝2eq