高中数学北师大版本册总复习总复习 2023版第2章4二次函数的图像

§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像1．理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为________．①f(x)＝eq\f(1,4)x2；②f(x)＝eq\f(1,2)x2；③f(x)＝－eq\f(1,3)x2；④f(x)＝－3x2.【解析】y＝ax2(a≠0)的图像在同一直角坐标系中|a|越大，开口就越小．【答案】④②③①教材整理2函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像阅读教材P42第3自然段～P44的有关内容，完成下列问题．1．y＝ax2eq\o(→,\s\up18(h>0向左平移h个单位),\s\do13(h<0，向右平移|h|个单位))y＝a(x＋h)2eq\o(→,\s\up18(k>0，向上平移k个单位),\s\do13(k<0，向下平移|k|个单位))y＝a(x＋h)2＋k.2．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．3．在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．()(2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2向左平移1个单位．()(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位．()【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]二次函数图像间的变换在同一坐标系中作出下列函数的图像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像.【导学号：04100027】【精彩点拨】对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．【尝试解答】列表：x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－4x301660－206描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．法一：先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像．法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．即上述平移规律“h值，正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．[再练一题]1．画二次函数y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的图像，并说明它是如何经过y＝eq\f(1,2)x2平移得到的．【解】∵y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x＝6.令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上．令y＝0，eq\f(1,2)x2－6x＋21＝0，∵Δ＜0，方程无实数解，∴抛物线与x轴没有交点．因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．(1)利用二次函数的对称性列表：x45678y535(2)描点、连线即得函数y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的图像，如图所示．把y＝eq\f(1,2)x2的图像向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度，就可得到y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的图像．求二次函数的解析式根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．【精彩点拨】【尝试解答】(1)设二次函数解析式为y＝a(x－2)·(x－4)．整理得y＝ax2－6ax＋8a∴8a＝3，∴a＝eq\f(3,8).∴解析式为y＝eq\f(3,8)(x－2)(x－4)．(2)设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2，∴解析式为y＝2(x－1)2＋2.(3)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝2，))∴解析式为y＝x2－2x＋2.求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解.,1若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋ca，b，c为常数，a≠0的形式.,2若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大小值，则设所求二次函数为顶点式y＝ax－h2＋k其中顶点为h，k，a为常数，a≠0.,3若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为x1，0，x2，0，则设所求二次函数为两根式y＝ax－x1x－x2a为常数，且a≠0.[再练一题]2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－10123y60－4－6－6－40求该函数的解析式．【解】法一：由表可知该函数与x轴有两个交点(－2,0)，(3,0)，故该函数可设为y＝a(x＋2)(x－3)，又函数过点(0，－6)，故－6a＝－6，a＝1，所以该函数的解析式为y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x法二：因为该函数过点(0，－6)，故y＝ax2＋bx－6，又过点(－1，－4)，(1，－6)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－6＝－4，①,a＋b－6＝－6，②))由①②可得a＝1，b＝－1，故该函数的解析式为y＝x2－x－6.[探究共研型]二次函数图像的应用探究1你能对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方，并说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值吗？【提示】y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a).当a＞0时，函数的图像开口向上，顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减少的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的；当x＝－eq\f(b,2a)时，函数取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)，无最大值．当a＜0时，函数的图像开口向下，顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减少的；当x＝－eq\f(b,2a)时，函数取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)，无最小值．探究2将函数y＝－3x2－6x＋1配方，确定其对称轴、顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．【提示】y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4.由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(－1,4)；对称轴为直线x＋1＝0(或x＝－1)；函数在区间(－∞，－1]上是增加的，在区间[－1，＋∞)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4.采用描点法画图，选顶点A(－1，4)，与x轴的交点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)－3,3)，0))和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3)＋3,3)，0))，与y轴的交点D(0,1)，再任取点E(－2,1)，过这5个点画出图像，如图．已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；(3)x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0?【精彩点拨】(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0，x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y＞0)时x的取值范围，y＝0与y＜0时亦可得．【尝试解答】(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示．(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(－1,0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函数图像知，当x＜－1或x＞3时，y＞0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.观察图像主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号值，对称轴的位置决定的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等，从而解决其他问题[再练一题]3．求函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标，对称轴以及函数的单调区间．【解】∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1,4)，对称轴为x＝1，单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞).1.下列关于二次函数y＝－x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是()A．开口向下，顶点(1,1)B．开口向上，顶点(1,1)C．开口向上，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(5,4)))D．开口向下，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))【解析】函数可化为y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，故抛物线开口向下，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).【答案】D2.把函数y＝2x2的图像向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数的解析式为________．【解析】函数y＝2x2的图像向左平移2个单位得到y＝2(x＋2)2，向上平移1个单位得到y＝2(x＋2)2＋1.【答案】y＝2(x＋2)2＋13.已知二次函数y＝f(x)的图像如图2­4­1所示，则此函数的解析式为__________.【导学号：04100028】图2­4­1【解析】由图像设f(x