高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 模块综合评价(一)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是()A．9B．24C．3D．解析：由分步乘法计数原理得，不同走法的种数是3×2×4＝24.答案：B2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()\o(y,\s\up12(^))＝－10x＋200 \o(y,\s\up12(^))＝10x＋200\o(y,\s\up12(^))＝－10x－200 \o(y,\s\up12(^))＝10x－200解析：由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B，D.又当x＝10时，A中的y＝100，而C中y＝－300，故C不符合题意．答案：A3．从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有()A．19种 B．54种C．114种 D．120种解析：选出的3名中全是男生的选法有Aeq\o\al(3,3)种，从6人中选出3人有Aeq\o\al(3,6)选法，所以至少有1名女生的选派方案有Aeq\o\al(3,6)－Aeq\o\al(3,3)＝120－6＝114(种)．答案：C4．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比例约为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．答案：C5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中各项系数之和为32，则展开式中含eq\r(x)项的系数为()A．－240 B．－270C．240 D．270解析：由题意知，不妨令x＝1，则(3－1)n＝32，解得n＝5.展开通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(3eq\r(x))5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)r·Ceq\o\al(r,5)35－r·xeq\f(5,2)－r，当r＝2时，T3＝(－1)2·Ceq\o\al(2,5)33·xeq\s\up12(\f(1,2))＝270eq\r(x)，所以展开式中含eq\r(x)项的系数为270.答案：D6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝，E(η)＝，则a，b可能的值为()A．2， B．1，4C．， D．，解析：由E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1.6a＋b＝，把选项代入验证，只有A答案：A7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P＝eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为()A．－eq\f(1,6)\f(2,3)\f(29,36)D．1解析：E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，所以E(μ)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝eq\f(2,3).答案：B8．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52，68]的人数大约是()A．997B．954C．682D．341解析：由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，所以P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝6.所以人数为6×1000≈682.答案：C9．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＜X＜\f(13,4)))＝()\f(2,3)\f(3,4)\f(4,5)\f(5,16)解析：因为P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，所以a＝eq\f(5,4).所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＜X＜\f(13,4)))＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,12)＝eq\f(5,16).答案：D10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：分类女男总计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672请问性别和读营养说明之间有关系的程度为()A．99%的可能性B．%的可能性C．%的可能性D．%的可能性解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.代入公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(72×（16×8－28×20）2,44×28×36×36)≈.由于K2≈＞，我们就有%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有%的可能是有关系的．答案：C11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝()A．B．0.2C．D．解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－，解得p＝或p＝(舍去)．法一P(X＝0)＝1－＝，P(X＝2)＝×＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X～B(2，，E(X)＝np＝2×＝.答案：D12．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：4个引擎飞机成功飞行的概率为Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4，2个引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4＞p2，必有eq\f(1,3)＜p＜1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝，则P(550＜X＜600)＝________．解析：由下图可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝.答案：14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的期望E(ξ)＝，则y的值为________．解析：由表格可知：x＋＋＋y＝1，7x＋8×＋9×＋10×y＝，联合解得y＝.答案：15．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解析：由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得答案：316．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P(ξ＝3)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝1)＝××＝，E(ξ)＝3×＋2×＋＝.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121.求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知：Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n－2,n)＝121，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝121.所以1＋n＋eq\f(n（n－1）,2)＝121，即n2＋n－240＝0.解得n＝－16(舍去)或n＝15.所以在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第八、第九两项，即T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7＝Ceq\o\al(7,15)·37x7，T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8＝Ceq\o\al(8,15)·38x8.18．(本大题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排．(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？解：(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有Aeq\o\al(6,6)种排法，五名徒弟在内部全排列有Aeq\o\al(5,5)种，据乘法原理排法共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(5,5)＝86400(种)．(2)先将五位师傅全排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有Aeq\o\al(5,6)种排法，据乘法原则，排法共计Aeq\o\al(5,6)Aeq\o\al(5,5)＝86400(种)．(3)先将五位师傅排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2Aeq\o\al(5,5)种排法，据乘法原理排法共有2Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(5,5)＝28800(种)．19．(本小题满分12分)(2023·福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×1＝eq\f(2,3).所以X的分布列为：X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(5,2).20．(本小题满分12分)一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速x/(转·秒－1)1614128每小时生产有缺陷的零件数y/件11985(1)已知y与x有线性相关关系，写出线性回归方程；(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度需控制在什么范围内？解：(1)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝，所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝6x－5.(2)由eq\o(y,\s\up12(^))＝6x－5≤10，得x≤9.所以机器的转速应控制在9转/秒以下．21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．分类甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表供参考：P(K2≥k)Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考公式：K2＝\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)))解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有Ceq\o\a