高中数学北师大版2第三章导数应用 第3章2

第三章§2一、选择题1．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3eq\r(x)，则从4m到9m这一段金属棒的平均线密度是\f(2,5)kg/m \f(3,5)kg/m\f(3,4)kg/m \f(1,2)kg/m解析：平均线密度＝eq\f(f9－f4,9－4)＝eq\f(3,5)kg/m.答案：B2．某汽车启动阶段的路程函数为S(t)＝2t3－5t2，则t＝2秒时，汽车的加速度是()A．14 B．4C．10 D．6解析：V(t)＝S′(t)＝6t2－10t，∴a(t)＝V′(t)＝12t－10.当t＝2秒时，a(2)＝14，即t＝2时，汽车的加速度为14.答案：A3．从时间t＝0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时的电流强度为()A．27C/s B．20C．25C/s D．解析：某种导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．答案：D4．一个球的半径以0.1cm/s的速率增加，那么当半径r＝10cmA．2πcm2/s B．4πcm2/sC．8πcm2/s D．16πcm2/s解析：∵r＝，∴Δr＝Δt，又Δs＝4π(10＋Δt)2－4π·102＝8πΔt＋π(Δt)2∴球的表面积增加的平均变化率为eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝8π＋πΔt当Δt→0时，eq\x\to(v)→8π∴此球的表面积增加的速率为8πcm2/s.答案：C二、填空题5．已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)＝4q2＋q－6，则当产量q＝10时的边际成本为_________．解析：c′(q)＝8q＋1，c′(10)＝8×10＋1＝81，故q＝10时的边际成本为81.答案：816．某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是_______．解析：∵P′(t)＝，∴P′(8)＝(元/年)．答案：元/年三、解答题7．修建面积为xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函数：y＝f(x)＝10x2＋x.(1)求当x从50变到60时，成本y关于修建面积x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(50)，并解释它的实际意义．解析：(1)当x从50变到60时，成本关于草坪面积x的平均变化率为eq\f(f60－f50,60－50)＝eq\f(36000＋60－25000＋50,10)＝1101(元/m2)它表示在草坪面积从50m2增加到60m2(2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)．f′(50)表示当草坪面积为50m2时，每增加18．设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c＝c(q)＝100＋4q－＋.求生产水平为q＝10万件时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看继续提高产量是否合算？解析：当q＝10时，总成本c(10)＝100＋4×10－×102＋×103＝100＋40－20＋10＝130(万元)．平均成本130÷10＝13(元/件)，边际成本c′(q)＝4－＋，∴c′(10)＝4－×10＋×102＝4－4＋3＝3(元/件)．因此在生产水平为10万元时每增产一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应继续提高产量．9．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它的增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)＝105＋104t－103t2.(1)求从第5小时到第10小时细菌的平均变化率；(2)求细菌在t＝5与t＝10时的瞬时变化率；(3)细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？解析：(1)从第5小时到第10小时细菌的平均变化率为eq\f(b10－b5,10－5)＝eq\f(105＋104×10－103×102－105＋104×5－103×52,5)＝eq\f(104×5－103×102－52,5)＝eq\f(104×5－103×75,5)＝－5×103.(2)∵b′(t)＝－2×103t＋104∴细菌在t＝5和t＝10时的瞬时变化率分别为b′(5)＝0，b′(10)＝－104.(3)令b′(t)＞0得0＜t＜5，当b(t)＝0时由b(t)＝105＋104t－103t2