高中数学人教A版第一章解三角形 课时提升作业(一)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(一)正弦定理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=A.15 B.59 C.5【解析】选B.由正弦定理得asinA=bsinB，所以313=2.(2023·开封高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B等于()A.12 B.32 【解析】选C.因为acosA=bsinB，由正弦定理得sinAcosA=sin2B，所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.3.在△ABC中，a=30，b=25，A=150°，则△ABC的解的个数为()A.一个解 B.两个解 C.无解 D.无法确定【解析】选A.由正弦定理得sinB=bsinAa=25×sin150°又a>b，所以B为锐角，角B有唯一的解.进一步，可以求角C和边c，都是唯一的，故△ABC的解的个数为一个.4.(2023·郑州高二检测)在△ABC中，已知a=52，c=10，A=30°，则B=()° °° °或15°【解析】选D.由正弦定理asinA=csinC可得：52所以sinC=22当C=45°时，B=180°-(A+C)=105°；当C=135°时，B=180°-(A+C)=15°.所以B=105°或15°.5.若asinA=bcosB=ccosCA.等边三角形B.有一个内角为30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形【解析】选C.因为asinA=bcosB=ccosC，所以由正弦定理得sinAsinA=又B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B=C=π4，A=π所以△ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在△ABC中，若A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c=__________.【解析】由A∶B∶C=1∶2∶3且A+B+C=180°得A=30°，B=60°，C=90°，所以a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=12∶32∶1=1∶答案：1∶3∶27.(2023·福建高考)在△ABC中，AC=3，A=45°，C=75°，则BC=__________.【解析】因为A=45°，C=75°，所以B=180°-75°-45°=60°.因为AC=3，由正弦定理得，ACsinB=BCsinA，BC=AC·sinA答案：28.(2023·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=3，sinB=12，C=π6，则b=【解题指南】本题考查了正弦定理，可先求出B的大小，再利用正弦定理求解.【解析】因为sinB=12且B∈(0，π)，所以B=π6或B=5π6，又C=A=π-B-C=2π3，又a=由正弦定理得asinA=bsinB，即3sin解得b=1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A-C)+cosB=1，a=2c，求C.【解析】由B=π-(A+C)，得cosB=-cos(A+C)，于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC.由已知得sinAsinC=12由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①、②得sin2C=1于是sinC=-12(舍去)或sinC=1又a=2c，所以C=π610.在△ABC中，acosπ2-A=bcosπ【解析】因为acosπ2-A=bcos所以asinA=bsinB.由正弦定理可得a·a2R=b·b所以a2=b2，即a=b，所以△ABC为等腰三角形.【一题多解】因为acosπ2-A=bcos所以asinA=bsinB.由正弦定理可得2Rsin2A=2Rsin2B，即所以A=B(A+B=π因不合题意舍去).故△ABC为等腰三角形.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·昆明高一检测)在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是()A.{x|x>2} B.{x|x<2}C.{x|2<x<22} D.{x|2<x<23}【解析】选C.若三角形有两个解，则xsinB<b<x，解得2<x<22.2.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()° ° ° °【解析】选C.设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，所以sinCsinA=sin=32tanA+12=3+12=所以tanA=1，A=45°，C=75°.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b=2a，B=A+60°，则A=__________.【解析】因为b=2a，所以sinB=2sinA，又因为B=A+60°，所以sin(A+60°)=2sinA，即sinAcos60°+cosAsin60°=2sinA，化简得：sinA=33所以tanA=33，所以答案：30°4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A的大小为__________.【解析】由sinB+cosB=2sinB+π4得sinB+π4=1，所以由正弦定理asinA=bsinB得sinA=asinBb=2·sinπ42=12答案：π三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知方程x2-bcosAx+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，角A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状.【解析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2=bcosA，x1x2=acosB，由题意得bcosA=acosB.由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB.所以sinAcosB-cosAsinB=0，即sin(A-B)=0.在△ABC中，0<A<π，0<B<π，-π<A-B<π.所以A-B=0即A=B，所以△ABC为等腰三角形.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=2cosA2,sinA2，n=(1)求cosA的值.(2)若a=23，b=2，求c的值.【解析】(1)因为m=2cosn=cosA2,-2sinA2所以2cos2A2-2sin