高中数学人教A版1第三章导数及其应用 市获奖

第三章一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论中正确的是()A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b处取到D．在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值解析：由函数最值的定义知A，B，C均不正确，D正确，故选D.答案：D2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A．－1 B．0C．－eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(\r(3),3)解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝eq\f(\r(3),3)时，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9).答案：C3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<eq\f(1,2)解析：∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.答案：B4．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，∴a>eq\f(1＋lnx,x)在(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝eq\f(－lnx,x2)<0，即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)＝1，∴a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)＝x3－eq\f(3,2)ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为________________．解析：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a>1，∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－eq\f(3,2)a，f(1)＝2－eq\f(3,2)a，∴f(－1)<f(1)，∴f(－1)＝－eq\f(3,2)a＝－2，a＝eq\f(4,3).∴f(x)＝x3－2x2＋1.答案：f(x)＝x3－2x2＋16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．解析：∵x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，则g′(x)＝eq\f(3－6x,x4).令g′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).当0<x<eq\f(1,2)时，g′(x)>0；当eq\f(1,2)<x≤1时，g′(x)<0.∴g(x)在(0,1]上有极大值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，它也是最大值，∴a≥4.答案：[4，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列各函数的最值：(1)f(x)＝x2－eq\f(54,x)(x<0)．(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－3，x∈[－1,2]．解析：(1)f′(x)＝2x＋eq\f(54,x2).令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,2]内恒大于0，∴f(x)在[－1,2]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－13；x＝2时，f(x)最大值＝5.即f(x)的最小值为－13，最大值为1.8．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．解析：记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.当x变化时，h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．9．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(2,3)a，,－1×3＝\f(b,3)；))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－9.))(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)