高中数学人教B版第二章函数函数 名师获奖

第二章2.1.4第A级基础巩固一、选择题1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是eq\x(导学号65164411)(B)A．f(－2)－f(6)＝0 B．f(－2)－f(6)<0C．f(－2)＋f(6)<0 D．f(－2)－f(6)>0[解析]由图象可知，f(2)<f(6)，又∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)<0.2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为eq\x(导学号65164412)(D)A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1[解析]设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x－1，∴x<0时，f(x)＝－x－1.3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝eq\x(导学号65164413)(C)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，①∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.4．设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是eq\x(导学号65164414)(C)A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数[解析]令F(x)＝f(x)|g(x)|，则F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，∴函数f(x)|g(x)|是奇函数．二、填空题5．如果F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3x>0,fxx<0))是奇函数，则f(x)＝__2x＋\x(导学号65164415)[解析]设x<0，则－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.6．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于__－\x(导学号65164416)[解析]解法一：f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－(25＋23a＋2b∵25＋23a＋2∴f(2)＝25＋23a＋2解法二：显然f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f(－2)＋8＝－[f(2)＋8]，即18＝－f(2)－8.∴f(2)＝－26.三、解答题7．判断下列函数的奇偶性.eq\x(导学号65164417)(1)f(x)＝x4＋2x2＋1；(2)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1,1)；(3)f(x)＝eq\r(x2－1)·eq\r(1－x2).[解析](1)f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋1＝x4＋2x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈[－1,1)，∴定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0,1－x2≥0))，得x＝±1.∵f(1)＝f(－1)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，∴函数f(x)＝eq\r(x2－1)·eq\r(1－x2)既是奇函数又是偶函数．8．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，eq\f(5,2)).eq\x(导学号65164418)(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,2a＋\f(b,2)＝\f(5,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1)).∴f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．B级素养提升一、选择题1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则eq\x(导学号65164419)(A)A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定[解析]∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．设f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是eq\x(导学号65164420)(D)A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)[解析]∵函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，又∵f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)，故选D．二、填空题3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2x≥0,－x－x－2x＜0)).eq\x(导学号65164421)[解析]解法一：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx≥0,x2＋2xx<0))，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2x≥0,－x－x－2x<0))，∴f(x)＝|x|(|x|－2)．4．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)__≥__f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)eq\x(导学号65164422)[解析]由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．三、解答题5．判断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3x<0,2x＝0,－x2＋2x－3x>0))的奇偶性.eq\x(导学号65164423)[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．C级能力拔高1．设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3).eq\x(导学号65164424)(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．[解析](1)∵－3≤x≤3，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,3]，单调递减区间为[－3，－1]，[0,1]．2．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x).eq\x(导学号65164425)[解析]∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝