高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 习题课立体几何中的向量方法

习题课立体几何中的向量方法学案编号：GEXX2-1T3-xtk【学习要求】通过利用向量方法解决综合性较强的问题，进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用．【学法指导】结合例题的解题过程，对立体几何中的三种方法(综合法、向量法、坐标法)进行比较，进一步体会向量方法与坐标方法相结合的优越性.设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔_____________线面平行l∥α⇔________⇔________面面平行α∥β⇔u∥v⇔______________线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔________线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔_____________面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔________线线夹角l，m的夹角为θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，cosθ＝________线面夹角l，α的夹角为θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，sinθ＝________面面夹角α，β的夹角为θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，cosθ＝________题型一立体几何中的综合性问题例1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C—PB—D的大小．跟踪1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．题型二立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题，在命题中多在解答题的一步中出现，试题有一定的难度．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例2如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．跟踪2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD(1)求证：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．【达标检测】1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．2.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN?【课堂小结】1．解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．2．对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在.习题课立体几何中的向量方法一、基础过关1.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.2.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．二、能力提升3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．4.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4)，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．5.等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．6.如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq