高中数学人教A版2第二章推理与证明直接证明与间接证明 第2章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中应用了()A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B.【答案】B2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.【答案】D3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：⊕abcdaabcdbbbbbccbcbddbbd⊗abcaaaababccaccdada那么，d⊗(a⊕c)等于()A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知，a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A.【答案】A4．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2【解析】∵eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0，故eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)⇔eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)⇔(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.【答案】C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．sin(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)>sinα＋sinβD．cos(α＋β)<cosα＋cosβ【解析】因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，若eq\f(π,2)≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，因为cosα>0，cosβ>0.所以cosα＋cosβ>cos(α＋β)．若0<α＋β<eq\f(π,2)，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cosα，cos(α＋β)<cosβ，所以cos(α＋β)<cosα＋cosβ，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cosα＋cosβ.【答案】D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】该证明方法是“由因导果”法．【答案】综合法7．如果aeq\r(a)>beq\r(b)，则实数a，b应满足的条件是__________．【解析】要使aeq\r(a)>beq\r(b)，只需使a>0，b>0，(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，即a>b>0.【答案】a>b>08．若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是__________.【导学号：60030056】【解析】若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，只需求y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．(1)求弦AB的长；(2)求三角形ABO的面积．【解】(1)由题意得，直线L的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3).由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).(2)点O到直线AB的距离d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3),2)，所以三角形OAB的面积为S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(4\r(3),3).10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[能力提升]1．设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8 B．4C．1 \f(1,4)【解析】eq\r(3)是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)⇒ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.【答案】B2．(2023·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是()A．(－1,2)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1.【答案】B3．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a，b应满足的条件是__________．【解析】aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．【答案】a≥0，b≥0且a≠b4．(2023·天津高二检测)已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β.求证：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β).【导学号：60030057】【证明】要证eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)成立，即证eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β)))).即证cos2α－sin2α＝eq\f(