高中数学北师大版2第四章定积分 第4章

第四章§1一、选择题1．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))f(x)dx的值为()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不确定解析：易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质eq\a\vs4\al(\i\in(－2,0,))f(x)dx＝－eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx，而eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－2,0,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝0.答案：A2．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲边梯形的面积S可表示为()\a\vs4\al(\i\in(－1,3,))f(x)dx \a\vs4\al(\i\in(－3,1,))f(x)dxC．－eq\a\vs4\al(\i\in(－1,3,))f(x)dx D．－eq\a\vs4\al(\i\in(－3,1,))f(x)dx解析：因为f(x)位于x轴下方，故f(x)＜0.∴eq\a\vs4\al(\i\in(－1,3,))f(x)dx＜0，故上述曲边梯形的面积为－eq\a\vs4\al(\i\in(－1,3,))f(x)dx.答案：C3．定积分eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))(－eq\r(4－x2))dx等于()A．4π B．2πC．－2π D．－4π解析：eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))(－eq\r(4－x2))dx表示半圆x2＋y2＝4(y≤0)的面积的相反数，∴eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))(－eq\r(4－x2))dx＝－2π.答案：C4．如图所示，所给图形的面积S的相应表达式中，正确的为()S＝eq\a\vs4\al(\i\in(b,a,))[f(x)－g(x)]dxS＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,8,))(2eq\r(2)x－2x＋8)dx①②S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))f(x)dx－eq\a\vs4\al(\i\in(4,7,))f(x)dxS＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,a,))[g(x)－f(x)]dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)－g(x)]dx③④A．①② B．①③C．②④ D．③④解析：①应为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)－g(x)]dx弄错了上下限．②应为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,))2eq\r(2x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(4,8,))(2eq\r(2)x－2x＋8)dx.答案：D二、填空题5．若eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\f(π,2),))cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为____．解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图像与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.答案：26．若eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))g(x)dx＝3，eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝1，eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝－2，则eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))[f(x)＋g(x)]dx＝_________.解析：eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))[f(x)＋g(x)]dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))g(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx－eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＋3＝6.答案：6三、解答题7．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：(1)eq\i\in(－3,－2,)x2dx＋eq\i\in(,1,)－2x2dx；(2)eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx.解析：(1)eq\a\vs4\al(\i\in(－3,－2,))x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(－2,1,))x2dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－3,1,))x2dx，所表示面积的图形如图：(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(1－x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(x－1)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))|1－x|dx，它所表示面积的图形如图：8．利用定积分的几何意义和性质求值：(1)eq\i\in(－3,3,)(eq\r(9－x2)－x3)dx；(2)eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))(sinx－2)dx；(3)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx∈[0，2,4－xx∈[2，3,\f(5,2)－\f(x,2)x∈[3，5]))，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．解析：(1)如图(1)，由定积分的几何意义得eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,2)＝eq\f(9π,2)，eq\i\in(－3,3,)x3dx＝0，由定积分性质得eq\i\in(－3,3,)(eq\r(9－x2)－x3)dx＝eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx－eq\i\in(－3,3,)x3dx＝eq\f(9π,2).(2)如图(2)，由定积分的几何意义得eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))sinxdx＝0，由定积分的性质得eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))(sinx－2)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))sinxdx－2eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))1dx＝0－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝－2π.(3)如图(3)，由定积分的几何意义得eq\i\in(0,2,)xdx＝A1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＝A2＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝A3＝eq\f(1,2)×2×1＝1.∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,5,))f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)xdx＋eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＋eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝2＋eq\f(3,2)＋1＝eq\f(9,2).9．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．解析：由f(－1)＝2，得a＋(－b)＋c＝2①f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝0，∴b＝0②eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ax2＋bx＋c)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))ax2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))bxdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))cdx＝aeq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx＋beq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＋ceq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))dx＝aeq\o(lim,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i2,n2)＋blieq\o(m,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i,n)＋clieq\o(m,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝