高中数学人教A版第三章概率单元测试（省一等奖）

河南省示范性高中罗山高中2023届高三数学复习单元过关练：必修三概率（含解析）1．从装有2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而对立的两个事件是（）A.至少有1个黑球，至少有1个白球B.恰有1个黑球，恰有2个白球C.至少有1个黑球，都是黑球D.至少有1个黑球，都是白球2．设集合，，从集合中随机地取出一个元素，则的概率是（）A．B．C．D．3．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．4．若=，则事件A与B的关系是（）A互斥不对立B对立不互斥C互斥且对立D以上都不对5．在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两数的平方和也在区间[0,10]的概率是（）A． B． C． D．6．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域（阴影部分）.向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A.B.C.D.7．一个盒子中装有4张卡片,上面分别写着如下四个定义域为R的函数:f1(x)=x3,f2(x)=|x|,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx,现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)QUOTE8．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．9．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（）A．B．C．D．10．如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域内的概率是（）y=y=x311Oxy（A）（B）（C）（D）11．．在区间上随机取一个，的值介于与之间的概率为（）(A)(B)(C)(D)12．有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是 （）A． B． C． D．13．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．14．在区间内任取一个实数，则使不等式成立的概率为．15．有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为。16．设随机变量，且DX=2，则事件“X=1” 的概率为（用数学作答）.17．某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（=1\*ROMANI）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（=2\*ROMANII）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；18．某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。19．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.21．某市现有居民万人，每天有的人选择乘出租车出行，记每个人的乘车里程为，。由调查数据得到的频率分布直方图（如图）。在直方图的乘车里程分组中，可以用各组的区间中点值代表该组的各个值，乘车里程落人该区间的频率作为乘车里程取区间中点值得概率。现规定乘车里程时，乘车费用为元；当时，每超出（不足时按计算），乘车费用增加元。（Ⅰ）求从乘客中任选人乘车里程相差超过的概率；（Ⅱ）试估计出租车公司一天的总收入是多小？（精确到万元）22．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。参考答案1．D【解析】试题分析：根据题意，对于选项A至少有1个黑球，至少有1个白球，，“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是1或2，表明红球个数为0或1，这与“至少有1个红球”不互斥，因此它们不对立；对于选项B，由于恰有1个黑球，恰有2个白球，互斥，但不是必有一个发生，故不对立，对于选项C，由于C.至少有1个黑球，都是黑球，可以同时发生，因此不互斥，对于D,由于至少一个黑球和没有黑球是对立事件，因此说至少有1个黑球，都是白球是对立事件，故选D.考点：互斥事件与对立事件点评：本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题2．C【解析】试题分析：如图，集合是正方形内部（含边界），，集合是抛物线下方的点（含边界），抛物线与正方形的交点为，，所以正方形内部且在抛物线下方区域的面积为，所求概率为．考点：几何概型．3．A【解析】试题分析：这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为，∴点落在星形内的概率为故选．考点：几何概型．4．D【解析】略5．D【解析】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10，0≤y≤10内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为π/4•10/102=π/40；故选D6．C【解析】试题分析：正方形的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型的计算公式当.考点：几何概型的应用.7．C【解析】新函数的个数为6个.即f1(x)·f2(x),f1(x)·f3(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f2(x)·f4(x),f3(x)·f4(x).奇函数有f1(x)·f2(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f3(x)·f4(x),共4个.∴P=QUOTE=QUOTE.故选C.8．D【解析】考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷2次向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数，可以列举出结果，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数，有（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）有12种结果，根据古典概型概率公式得到P=12:36=1:3，故选D点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．9．D【解析】试题分析：个位数与十位数之知为奇数一两位数共有个，从中任取一个共有45个不同的结果，由于是随机抽取的，每个结果出现的可能性是相等的，其中个位数为的有个，由古典概型的概率公式得所求概率为：，故选D.考点：1、排列组合；2、古典概型.10．A【解析】试题分析：由定积分得阴影部分面积为，由几何概型的概率计算公式得到点落到阴影区域内的概率为考点：几何概型11．A【解析】分析：解出关于三角函数的不等式，使得sinx的值介于-到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率．解答：解：∵-＜sinx＜，

当x∈[-，]时，

x∈（-，）

∴在区间[-，]上随机取一个数x，

sinx的值介于--到之间的概率P==，

故选A．点评：本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．12．C【解析】13．【解析】依题意，所有(x，y)的结果为＝6种．若a⊥b，则a·b＝0，即3x－y＝0，而满足a⊥b的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P＝．14．．【解析】试题分析：在区间内任取一个实数，试验全部结果构成的长度为，不等式得，满足题意的，满足不等式的的长度是3，不等式成立的概率为．考点：利用几何概型求随机事件的概率．15．【解析】略 16．【解析】考点：．分析：由随机变量X～B（n，），且DX=2，知n××（）=2，解得n=8．再由二项分布公式能够导出事件“X=1”的概率．解答：解：∵随机变量X～B（n，），且DX=2，∴n××（）=2，∴n=8．∴p（x=1）=C××=．故答案为：．点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np（1-p）的灵活运用．17．（=1\*ROMANI）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为．（=2\*ROMANII）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．【解析】（=1\*ROMANI）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为．（=2\*ROMANII）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．18．（Ⅰ）的概率为（Ⅱ）求的均值为【解析】（=1\*ROMANI）表示两次调题均为类型试题，概率为（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为随机变量可取，，19．(1)第3组02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.(2)(3)【解析】试题分析：(1)根据系统抽样的方式,可以得到100名学生要分10组,每组10人,每组抽取一人,第三组编号为20-29,故22号为第三组学生,因为间隔为10,所以22依次加或者减10即可得到各组被抽到学生的编号.(2)首先根据茎叶图可得还原这10名学生的成绩,然后求的平均数,10名学生的成绩分别减去平均数的平方和再除以10即为方差.(3)根据茎叶图可得成绩不低于73分的学生有5名,首先列出五选二的所有的基本事件共有10种,即为（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）,而成绩之差不小于154分的有7种,再根据古典概型的概率计算公式即可求的相应的概率.试题解析：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3.（2分）因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.（4分）（2）这10名学生的平均成绩为：×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，（6分）故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（10分）其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（12分）故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：（13分）考点：古典概型茎叶图方差系统抽样20．（1）；（2），.【解析】试题分析：本题主要考查实际应用问题、平均利润的计算、随机事件的概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用“当天的利润=售出的价钱-进价”计算利润，但需分两种情况：，进行讨论，列出表达式；第二问，用100天的总利润÷100=平均利润，来计算；所求利润相当于表中后5种情况，把5种情况的概率相加即可.试题解析：（1）当日需求量时，利润=85；当日需求量时，利润，∴关于的解析式为；4分（2）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元