光在晶体中传播的几何法描述1课件

光在晶体中的传播规律除了利用上述进行严格的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。5.2.2

光在晶体中传播的几何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。5.2.2

光在晶体中传播的几何法描述5.2.2

光在晶体中传播的几何法描述x1x2x3n1n2n3几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。1.折射率椭球1)

折射率椭球方程由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为1)

折射率椭球方程故有在给定能量密度e的情况下，该方程为D(D1、D2、D3)空间的椭球面。1)

折射率椭球方程若令则有2)

折射率椭球的性质若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标原点作一平面(k)与k垂直。x3x1k2)

折射率椭球的性质(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质：x3x1k2)

折射率椭球的性质x3x1k①与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n和n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即2)

折射率椭球的性质只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。x3x1k从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率和D的振动方向。现在证明上述结论:由空间解析几何理论，与波法线k垂直的中心截面(k)上的椭圆，应满足下面两个方程：x3x1k由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以，可以通过对满足(73)式、(74)式的r2＝x12＋x22

+x32求极值来确定ra(k)和rb(k)。求解ra(k)和rb(k)的问题就变成了对F求极值的问题。而F

取极值的必要条件是它对x1、x2、x3的一阶导数为零，即将(76)式的三个式子分别乘以x1、x2、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式关系，得将(77)式、(78)式得出的1和2关系代入(76)式，可得将(79)式与(38)式进行比较可见，二式的差别只是符号不同。如果我们进行如下的代换：并注意到Di/0i＝Ei，则(79)式可以写成通过中心与k垂直的椭圆截面两个主轴矢径ra和rb的方向，就是波法线矢量为k的两个特许编振光D矢量的振动方向，两个半轴长ra和rb就是分别与这两个线偏振光相应的折射率。椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。x1x2x3n1n2n3通过椭球中心的每一个矢径方向，代表D的一个振动方向，其长度为D在此方向振动的光波折射率,故矢径可表示为r＝nd。所以，折射率椭球有时也称为(d，n)曲面。x3x1k3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定D、E、k、s各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法D、E、k、s矢量都与H矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆。x3x1kDODEB法线T切平面R3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与该D矢量相应的E矢量方向。ODEB法线T切平面R曲面f(x1，x2，x3)＝C

上某点处的法线方向平行于函数f在该点处的梯度矢量f。由(69)式，折射率椭球方程可写成所以，现证明如下：若将xi＝Din/D和i＝Di/0Ei代入，上式变为因而这说明，与折射率椭球上某点所确定的D矢量相应的E矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向。

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法ODEB法线T切平面R几何方法：先过B点作椭圆的切线BT，再由O点向BT作垂线OR,则OR的方向即是B点的法线方向,也就是与D相应的E的方向。3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法ODEB法线T切平面R另外，过O点作BT的平行线OQ，则OQ的方向就是s的方向，而垂直于OB的方向OJ

就k的方向。3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法ODEB法线T切平面RQJks4)应用折射率椭球讨论晶体的光学性质

(1)各向同性介质或立方晶体(2)单轴晶体(3)双轴晶体

(1)各向同性介质或立方晶体在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数1＝2＝

3,主折射率n1＝n2＝n3＝n0，折射率椭球方程为这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为n0的球。

(1)各向同性介质或立方晶体不论k在什么方向,垂直于k的中心截面与球的交线均是半径为n0的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。x3x2x1(2)单轴晶体在单轴晶体中，1=23，或n1=n2=no，n3=neno，因此折射率椭球方程为显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x3轴。x3x2x1x3x2x1(2)单轴晶体若ne＞no称为正单轴晶体，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的旋转椭球；若ne

＜no，称为负单轴晶体，折射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。设晶体内一平而光波的k与x3轴夹角为，则过椭球中心作垂直于k的平面(k)与椭球的交线必定是一个椭圆。下面讨论波法线方向为k的光波传播特性:x3x2kx1(k)nonone由于旋转椭球的x1(x2)轴的任意性，可以假设(k，x3)面为x2Ox3平面。若建立新的坐标系O－x1x2x3，使x3轴与k重合，x1轴与x1

轴重合，则x2轴在x2Ox3平面内。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone这时，(k)截面即为

x1Ox2面，其方程为x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone新旧坐标系的变换关系为x2x2x3x3O(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)将上面关系代入(82)式，再与(83)式联立，就有其中经过整理，可得出截线方程为或表示为根据折射率椭球的性质，椭圆截线的长半轴和短半轴方向就是相应于波法线方向k的两个待许线偏振光的D矢量振动方向d和d

,两个半轴的长度等于这两个特许线偏振光的折射率n和n

。由(84)式可见,这个椭圆有一个半轴的长度为no方向为x1轴方向.如果k在x2Ox3平面内,不论k的方向如何，它总有一个特许线偏振光的折射率不变,相应的D方向垂直于k与x3轴所构成的平面,这就是o光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通过作图法，即可确定o光的ED，sk。x2x1x3DeEeEoDoksosex3x2x2x3kx1x1(k)nonenone对于椭圆的另一个半轴，其长度为ne，且在x2Ox3

平面上。相应于波法线方向k的另一个特许的线偏振光的D矢量在(k,x3)面内，相应的折射率ne

随

k的方向变化，这就是e光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通过作图法可以看出，e光的D方向不在主轴方向,因而E与D不平行，s与k也不平行。这些结果与解析法得到的结论完全一致。x2x1x3DeEeEoDoksose下面讨论两种特殊情况：①＝0

时，k与x3轴重合，这时，ne＝no，中心截面与椭球的截线方程为这是一个半径为no的圆。沿x3轴方向传播的光波折射率为no

，D矢量的振动方向除与x