高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 精品获奖

专题一空间向量及其运算空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展．例1已知点M是△ABC的重心，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝________．【答案】0解析：设D为AB的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，又M为△ABC的重心，则eq\o(MC,\s\up6(→))＝－2eq\o(MD,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.（巩固训练）空间任意四个点A、B、C、D，则eq\o(BA,\s\up11(→))＋eq\o(CB,\s\up11(→))－eq\o(CD,\s\up11(→))等于()\o(DB,\s\up11(→))\o(AD,\s\up11(→))\o(DA,\s\up11(→)) \o(AC,\s\up11(→))解析：eq\o(BA,\s\up11(→))＋eq\o(CB,\s\up11(→))－eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(CB,\s\up11(→))＋eq\o(BA,\s\up11(→))－eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(CA,\s\up11(→))－eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(DA,\s\up11(→)).故选C例2已知在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c \f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：显然eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.（巩固训练）如图，已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝______(用向量a，b，c表示)．【答案】：3a＋3b－解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－2c)＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.例3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A．13\r(13)C．2 \r(5)解析：|a＋3b|＝eq\r(（a＋3b）2)＝eq\r(a2＋6a·b＋9b2)＝eq\r(1＋6×cos60°＋9)＝eq\r(13).故选A（巩固训练）已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．【答案】：－13解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.专题二空间向量及其坐标运算例4已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．【答案】：0解析：因为eq\o(AB,\s\up11(→))＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，eq\o(AC,\s\up11(→))＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up11(→))∥eq\o(AC,\s\up11(→))，即eq\f(λ－1,2)＝－eq\f(1,2)＝eq\f(λ－2μ－3,6)，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.（巩固训练）已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.例5已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)解析：利用向量数量积公式的变形公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求向量的夹角，各项逐一验证．选项B中cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.故选B（巩固训练）已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则eq\o(AB,\s\up11(→))与eq\o(CA,\s\up11(→))的夹角θ的大小是________．【答案】：120°解析：因为eq\o(AB,\s\up11(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(CA,\s\up11(→))＝(－1，3，－2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up11(→))，eq\o(CA,\s\up11(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up11(→))·\o(CA,\s\up11(→)),|\o(AB,\s\up11(→))||\o(CA,\s\up11(→))|)＝eq\f(（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）,\r(14)×\r(14))＝eq\f(－7,14)＝－eq\f(1,2)，取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up11(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，所以eq\o(MN,\s\up11(→))⊥n.又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.法二：因为eq\o(MN,\s\up11(→))＝eq\o(C1N,\s\up11(→))－eq\o(C1M,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up11(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up11(→))－eq\o(D1D,\s\up11(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up11(→))，所以eq\o(MN,\s\up11(→))∥eq\o(DA1,\s\up11(→))，而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.（巩固训练）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD；证明：以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2eq\r(3)，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，M(eq\f(\r(3),2)，0，eq\f(3,2))，∴eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，0，eq\f(3,2))，令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(1,2)y，,x＝－\f(\r(3),2)y，))令y＝2，得n＝(－eq\r(3)，2,1)．∵n·eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，∴n⊥eq\o(CM,\s\up6(→))，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.（巩固训练）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE。证明如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3).由题意，得G(0，4，0)因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝(8，0，0)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0，－4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4).由eq\o(FG,\s\up6(→))＝(－4，4，－3)，得n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0，即n⊥eq\o(FG,\s\up6(→)).又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.专题四利用空间向量证明垂直关系垂直关系有线线垂直、线面垂直和面面垂直等．利用向量垂直的充要条件可直接证明线线垂直，线面垂直和面面垂直一般都可转化为线线垂直来证明。证明线面垂直的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．利用空间向量证明面面垂直的方法．(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题；(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．例7已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝eq\f(1,2)AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.证明：CM⊥SN.证明：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0)).eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))eq\o(SN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))∴eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(SN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0.∴eq\o(CM,\s\up6(→))⊥eq\o(SN,\s\up6(→))，即CM⊥SN.例8.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系．∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.（巩固训练）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).证明：A1C⊥平面BB1D1D；证明:建立如图所示的空间直角坐标系.由AB＝AA1＝eq\r(2)可知O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，B1(－1，1，1)，C(－1，0，0)，A1(0，0，1)，D1(－1，－1，1).eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝0，即A1C⊥DB，A1C⊥BB1，且DB∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.例9如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：平面PMC⊥平面PDC.证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A­xyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．因为M，N分别为AB，PC中点，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).所以eq\o(PC,\s\up11(→))＝(b，a，－a)，eq\o(PM,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0，－a))，eq\o(PD,\s\up11(→))＝(0，a，－a)．设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(PC,\s\up11(→))＝0⇒bx1＋ay1－az1＝0,n1·\o(PM,\s\up11(→))＝0⇒\f(b,2)x1－az1＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2a,b)z1,y1＝－z1))，令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up11(→))＝0⇒bx2＋ay2－az2＝0,n2·\o(PD,\s\up11(→))＝0⇒ay2－az2＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝z2，))令z2＝